自主招生和联赛中的一类根式问题

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中等数学

自主招生和联赛中的一类根式问题

任念兵

（华东师范大学第二附属中学，２０１２０３）．

中圈分类号：０１５６．１

文献标识码：Ａ

近些年来，一类与根式（ｐ＋如）４（ｐ、ｇ、，ｌ

∈Ｚ＋）有关的问题在自主招生和联赛中频繁出现，此类问题往往与二项式定理、整除和同余、数列和极限等知识紧密联系，而构造对偶式和构造递推数列是解决此类问题的有效方法，本文撷取几例加以剖析．

１研究二项展开式的系数和

由二项式定理得

（ｐ＋如）“

＝（ｃ》“＋ｃ知”２９＋…）＋

（ｃ－”１＋ｃ》”３９＋…）打，

可以写成口ｌ＋６。石（％、６。∈ｚ＋）的形式，研

究ａ。６。的关系是此类根式问题中的热点．

例ｌ设

（１＋√乏）“＝菇。＋，，。√乏（ｘ。、），。∈ｚ）．求ｌｉｍ竺．

Ｈ＋。），＾

（２０００，复旦大学保送生招生考试）解法１构造对偶式．

考虑对偶式（１一以）“，由二项式定理知

ｆ（１＋√ｒ２）“＝省。＋，，。√ｒ２，

【（１一在）“＝菇。一ｙ。厄

ｈ＝却（１＋厄）“＋（卜压）“］，

习ｌｙ－ｌ＝壶…橱“－（１胡１

收稿日期：２０１３—０６一０４

万方数据

文章编号：１００５—６４１６（２０１３）１２—００１８—０３

故ｌｉｍ生：厄ｌｉｍ坐唣出衅

舢逍观８＿＋∞），一

舻’＋∞（１＋√２）“一（１一√ｒ２）”

～。卜（嚣）

解法２构造递推数列．

因为（１＋厄）”１＝菇。＋．＋ｙ。＋厦，而

（‰＋ｙ。压）（１＋厄）

＝（ｘ。＋２，，。）＋（茄。＋），。）√虿，

所以，卜１硝ｎ＋２ｙ＾’

①

从而，ｌｉｍ生＝ｌｉｍ堑＝ｌｉｍ毕．

【ｙ。＋１＝茗。＋ｙ．

记ｌｉｍ鱼：．｜｝＞０．

则由．ｊ｝＝笔寻，解得｜｜｝＝厄（负值舍去）．

【评注】本例中由方程组①可直接求出

名。、儿（可参看后面的例５），不过在求极限时

没有必要求出通项公式来．

为节约篇幅，以下例题的解答只给出构造对偶式和构造递推数列这两种方法的一种．

必可表示成‘＋厢（ｓ∈ｚ＋）的形式．

例２证明：对任意正整数，ｌ，（１＋厄）“

（２０１２，北京大学等学校联合自主招生

考试）

证明记

２０如年第１２期

（１＋厄）“＝口。＋６。厄（口。、６。∈ｚ＋）则（１一厄）“＝口。一６。在．

上面两式相加、减、乘得

ｆ口。：寻［（１＋在）“＋（１一厄）“］，

卜疠…＋尉＿（１一时］，

【口：一２６：＝（一１）ｎ．

故（１＋厄）４

＝√【业鲢笋型】２＋

√【血譬｝盈】２．

当ｎ为偶数时，令

…：＝【业丛笋盟】２．

灿小２６ｊ：＝【丛譬笋盈】２．

显然，ｓ∈ｚ＋，且（１＋厄）“＝五＋厢．

当ｎ为奇数时，令

ｓ＝【丛丝笋盟】２

Ｌ

２

Ｊ

即可满足题意．

【评注】将一组对偶式（ｐ±石）“相加减

可以得到系数和，相乘可以得到整常数，处理此类根式问题通常均需要进行这三种简单的

运算．

２研究根式的整数部分与小数部分

（ｐ＋如）“的小数部分常常是（｜ｐ一如）“或１一（ｐ一√ｇ）“，由此可以研究（ｐ＋知）“的

整数部分与小数部分．

例３已知８。＝（２＋∥）ｈ“，６。是口。的

小数部分则当ｎ∈Ｚ＋时，％６。的值（）．…

（Ａ）必为无理数（Ｂ）必为偶数（Ｃ）必为奇数

（Ｄ）可为无理数或有理数

（２００８，全国高中数学联赛江西省预赛）解注意到，

（万＋２）２“１一（万一２）２”１

万方数据

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＝２（ｃ：。＋Ｉ２２８＋’＋ｃ；。＋ｌ２２“一‘×７＋…＋ｃ；：＋。２ｘ７。）∈ｚ＋．

而ｏ＜（万一２）２“１＜１，故（万一２）２”’

为口。的小数部分，即

６。＝（万一２）２”１．

贝０ｎ。６。＝“彳＋２）抽“（万一２）ｈ“＝３ｈ“（奇数）．故选Ｃ．例４

试求（厄＋万）２们２的整数部分的

个位数字．‘２３

解注意到，

（应＋万）２叫２＝（５＋２万）Ⅲ．

显然，ｏ＜（５—２压）１００６＜ｌ，

（５＋２厢）嘣＋（５—２厢）Ⅲ

＝２（ｃ？００６５１００６＋ｃ；嘶５１００４×２４＋…＋ｃ：慧２４５０３）∈ｚ＋．

故（厄＋万）２叭２的整数部分为

２（四嘶５１嘶＋ｃ２瞄５１似×２４＋…＋ｃ：鬈铲）一１．

而２（ｃ？００６５１瞄＋ｃ；嘶５１瞄×２４＋…＋ｃ：慧２４５０３）一ｌ

兰２×２４５０３一ｌ兰２

ｘ（２５一１）５０３一ｌ

三２×（一１）５０３一ｌ兰７（ｍｏｄ１０），

即（√虿＋√亨）２０１２的整数部分的个位数字为７．

【评注ｌ（ｐ＋石）８的小数部分会随着ｎ

的奇偶性不同而有所不同．

３研究数论问题

或垒±矗上｛衄为整数，根式（ｐ＋√ｉ）ｎ

由二项式定理知血！矗上毒且上互世

就与整除、不定方程等数论中的某些问题联

系起来．

例５

设数列｛口。｝、｛６。｝满足口。＝ｌ，

口ｌ＝４，口２＝４９，且

戤銎：：筹ｈ—ｏ，ｋ。．

、

【６。＋ｌ：８口。＋７６。一４

’’

。

证明：ｏ。（，ｌ＝０，ｌ，．．．）为完全平方数．（２０００，全国高中数学联赛）

证明由６。：生生｛≥ｄ２，知

Ｄ半地仆学一４

ｎ＋ｌ

２——１＿’

代入条件得

整理得口。＋２＝１４口川一口。一６．由待定系数法得

口。＋：一号＝ ４（口川一号）一（ｎ。一丢）．

特征方程石２一１４茗＋ｌ＝Ｏ的解为

茗＝７±４万．

故％＝ｃｌ（７＋们）４＋Ｇ（７一够）“＋｛．

而由口ｏ＝ｌ，口ｌ＝４，口２＝４９，解得

ｃ，＝ｃ：＝｝．

则口。＝÷［（７＋４万）“＋（７—４万）“＋２］

又垡±尘立≥』地为整数，故口。

＝［坠也笋盘】２．

Ｌ

２

Ｊ

＾

＾

／７ⅢＭ’¨”“

Ｉ评注】特征根法求数列通项公式

例６数列｛五｝的通项公式为

ｚ刊学Ｈ学）ｎ】ｃ凡钮，．

记．ｓ。＝ｃ：工＋ｃ：五＋…＋ｃ：工．求所有

（２００５，上海市高中数学竞赛）

解记ａ：学，卢：学．则

ｓ。＝去∑ｃＨ一∥）＝告∑ｃ¨一∥）

＝去（骞ｃ∥一骞ｃ∥）

万方数据

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＝去【（１＋ａ）“一（１＋卢）“】

＝洲学）ｎ＿（学门．

注意到，羔鲁壁×生箬：１．故

‰＝圳（学ｒ（学门 【（学）＋（学）】＿［（学Ｈ学）ｎ】）

＝３ｓ川一ｓ。．

①

因此，ｓ。＋：除以８的余数完全由ｓ川、ｓ。易知，．ｓ，＝ｃ：Ｚ＝ｌ，是＝ｃ：五＋ｃ；五＝３．

故由式①可以算出｛｜ｓ。｝各项除以８的从而，８ＩＳ。§３ｌ，１．

【评注】虽然本文所讨论的大部分问题

将根式（ｐ＋石）“改为三项式或者多个

例７设算＝（１５＋湎）哼＋（１５＋湎）＆．

解构造对偶式

），＝（１５一压万）１９＋（１５一以而）８２．

则算＋ｙ

‘（１５＋以丽）救＋（１５一压万）犯．

＝（１５＋湎）１９＋（１５一厕）悖＋

由二项式定理，知对任意的ｎ∈Ｚ＋，有

（１５＋￣／７２２０）４＋（１５一√／２２０）“

＝２（ｃ：１５８＋ｃ：１５８—２×２２０＋…）∈ｚ＋，

因此，茗＋ｙ是个位数字为零的正整数．

（下转第３０页）

除以８的余数确定．

余数依次是ｌ，３，０，５，７，０，ｌ，３，…，这是一个以６为周期的周期数列．

通过构造对偶式的方法较易解决，而本例则通过构造递推数列的方法显得更简捷．

４研究变式问题

为完全平方数．

“丝±鱼２姜趔为整数，，则是解本题

是此题主要考查的内容，而的一个关键步骤．

二项式的和的形式，问题会变得更复杂些，但处理的方法还是类似的．

的正整数ｎ，使得Ｊｓ。能被８整除．

求数ｚ的个位数字．

且个位数字为零．

中等数学

设凡：２’（ｒ≥１）．则ｒ＜Ｊ｜｝．取３个２’１及２．｜｝一３个ｌ，显然，这些数均不被ｎ整除．将这２七个数任意分成两组，则总有一组中含２个２’１，其和为２７且被ｎ整除．

设ｎ不是２的幂，取２后个数为

一ｌ，一ｌ，一２，一Ｚ，…，一Ｚ一２，ｌ，２，Ｚ，…，≯～．因为ｎ不是２的幂，所以，上述２Ｉ｜｝个数

２“‘＝０被乃整除，故２…在第一组，从而，一２…在第二组．

故由数学归纳法，知ｌ，２，２２，…，２卜２在第一组，一ｌ，一ｌ，一２，一２２，…，一２卜２在第

二组．

最后，由于

（一１）＋（一１）＋（一２）＋…＋（一２‘一２）＋２‘一’＝Ｏ

均不被ｎ整除．

若可将这些数分成两组，使得每一组中

被ｎ整除，故２“１在第一组．因此，ｌ，２，２２，…，２“１均在第一组．由正整数的二进制表示，知每一个不超过２‘一ｌ的正整数均可表示为ｌ，２，２２，…，２卜１中若干个数的和，特别地，因为ｎ≤２‘一ｌ，所以，第一组中有若干个数的和为ｎ，当然被，ｌ整除，矛盾．

因此，将前述２Ｉ｜｝个整数任意分成两组，总有一组中有若干个数之和被ｎ整除．

（丁龙云提供）

任意若干个数的和均不被ｎ整除不妨设ｌ

在第一组，由（一１）＋ｌ＝０被凡整除，故两个一ｌ必须在第二组；又（一１）＋（一１）＋２＝０被，ｌ整除，故２在第一组，进而，推出一２在

第二组．

现归纳假设ｌ，２，…，２。（１≤Ｚ＜Ｊ｜｝一２）均在第一组，而一ｌ，一１，一２，…，一２‘均在第二组．

由（一１）＋（一１）＋（一２）＋…＋（一２‘）＋（上接第２０页）

由于ｏ．９＜１一（厄一万）２０１０＜ｌ，于是，（在＋√亨）２０１０的小数点后第一位数字是９．

３．设ｐ、ｑ∈Ｚ＋，且ｑ≤ｐ２．试证：对凡∈Ｚ＋，存在Ⅳ∈Ｚ＋，使得

又ｏ＜－５一钥面＝吾ｊ高＜砉＝÷，且

（１５一在而）跎＜（１５一以而）憎，

故ｏ＜，，＜２（１５一以丽）１９＜２×ｏ．２１９＜Ｑ４．

所以，菇的个位数字为９．

（ｐ一＾／石２一ｇ）４＝Ⅳ一￣／＾『２一ｑ８，且（ｐ＋￣，石２一ｑ）“＝ＪＩ、ｒ＋￣／．Ⅳ２一９８．

（２０１２，浙江省高中数学竞赛）

练习题

１．已知（１＋怕）８＝口。＋６。招，其中，口。、

一提示：Ⅳ＝÷［（ｐ一诊ｉ）“＋（ｐ＋诊ｊ）４］

∈Ｚ．．

６。为整数．则ｌｉｍ》＝一

提示：ｌｉｍ≥

”＋。口“一”。

４．考虑数列％＝（１＋拉＋梅）“．记

并。＝口。＋６。√２＋ｃ。√３＋ｄ。√６，其中，口＾、６ｎｃｎ、ｄ。∈Ｚ＋．

求ｌｉｍ生、ｌｉｍ垒、ｌｉｍ生．’

¨＋∞口＾¨＋∞口＾

忡＋∞口＾

（２０１１，全国高中数学联赛四川省预赛）

：ｌｉｍ万×坐唣盥蝉：万．

（１＋怕）“一（１一拈）“‘

提示：答案为

ＺｊＯ¨＋∞口＾ｎ＿＋∞ｎｎｎ＿＋∞口ｎ

参考文献：

［１］２００８年全国高中数学联赛江西省预赛［Ｊ］．中等数

２．（厄＋万）２０１０的小数点后第一位数字

是——．

（２００９，全国高中数学联赛吉林省预赛）

』恐鲁＝孚，坐恐乏＝孚，』恐鲁＝譬．

学，２００９（８）．

提示：（厄＋万）２０１０的小数部分为ｌ－（厄一万）２０１０．

［２］赵鸿雁．利用转化的思想解题［Ｊ］．中等数学，２０１３

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作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

任念兵

华东师范大学第二附属中学,201203中等数学

High-School Mathematics2013(12)

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