2013年全国高中联赛福建预赛

2013年福建省高中数学竞赛

暨2013年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案

一、填空题（共10小题,每小题6分,满分60分.请直接将答案写在题中的横线上）

1．已知数列?an?满足a1?32,an?1?an?2n（n?N）,则*an的最小值为 . n

【答案】 31 3

【解答】由a1?32,an?1?an?2n知,

an?an?1?2(n?1),an?1?an?2?2(n?2),??,a2?a1?2?1,a1?32.

上述n个等式左右两边分别相加,得an?n(n?1)?32.

? anaa325231?n?1?,又n?5时,n?；n?6时,n?. nnn5n3

an31取最小值. 3n? n?6时,

2．对于函数y?f(x),x?D,若对任意的x1?D,存在唯一的x2?D,

?M,则称函数f(x)在D上的几何平均数为M.已知f(x)?x3?x2?1,x??1，2?,则函数f(x)?x3?x2?1在?1，2?上的几何平均数M? .

【答案】

2【解答】

当1?x?2时,f?(x)?3x?2x?x(3x?2)?0,

2?上为增函数,其值域为?1，5?. ? f(x)?x3?x2?1在区间?1，

? 根据函数f(x)几何平均数的定义知

,M?b、3．若三个非零且互不相等的实数a、c满足112b、??,则称a、若满足a?c?2b,c是调和的；abc

则称a、b、c是等差的.已知集合M??xx?2013，x?Z?,集合P是集合M的三元子集,即P??a，，bc??M.若集合P中元素a、b、c既是调和的,又是等差的,则称集合P为“好集”.则不同的“好集”的个数为 .

【答案】 1006

?112???【解答】若a、b、c既是调和的,又是等差的,则?abc,a??2b,c?4b.

??a?c?2b

即“好集”为形如??2b,b,4b?（b?0）的集合.

由“好集”是集合M的三元子集知,?2013?4b?2013,b?Z,且b?0.

? ?503?b?503,b?Z,且b?0.符合条件的b可取1006个值.

1

? “好集”的个数为1006.

4．已知实数x,y满足xy?1?4x?y,且x?1,则(x?1)(y?2)的最小值为【答案】 27

【解答】由xy?1?4x?y知,y?4x?1. x?1

3x(?1)x(?21)?. x?1(?? (x?1)y2?)x?(4x?1?x?1

设x?1?t,则t?0,

(x?1)(y?2)?

1

t3(x?1)(2x?1)3(t?2)(2t?1)1??6(t?)?15?27. x?1tt当且仅当t?,即t?1,x?2,y?7时等号成立.

(?? (x?1)y27. 2)的最小值为

5．如图,在四面体ABCD中,AB?平面BCD,?BCD是边长为3的等边三角形.

若AB?2,则四面体ABCD外接球的面积为 .

【答案】 16?

【解答】如图,设正?BCD的中心为O1,四面体ABCD外接球的球心为O.则

23?OO1?平面BCD,OO1//

AB,BO1??32

取AB中点E.

由OA?OB知,OE?AB,OE//O1B,OO1?EB?1.

于是,OA?OB?2.

? 四面体ABCD外接球半径为2,其面积为16?.

6．在正十边形的10个顶点中,任取4个点,则以这4个点为顶点的四边形为梯形的概率为.

【答案】 2 7

【解答】设正十边形为A1A2A10.则

以A1A2为底边的梯形有A?、A1A2A4A9、A1A2A5A8共3个.同理分别以A2A3、A3A4、A4A5、1A2A3A10、

A9A10、A10A1为底边的梯形各有3个.这样,合计有30个梯形.

2以A1A3为底边的梯形有A1A3A5A9共个.同理分别以A2A4、A1A3A4A10、A3A5、A4A6、?、A9A1、

A10A2为底边的梯形各有2个.这样,合计有20个梯形.

1以A1A4为底边的梯形只有A1A4A5A10个.同理分别以A2A5、A3A6、A4A7、?、A9A2、A10A3为底

边的梯形各有1个.这样,合计有10个梯形

.

2

所以,所求的概率P?30?20?102?. 4C107

x

2127．方程sin?x?[?[]?]在区间[0，（符号[x]表示不超2?]内的所有实根之和为.

过x的最大整数）.

【答案】 12

【解答】设}?x2x

2xxx?[],则对任意实数x,0?{?1. 222

x

212原方程化为sin?x?[{?].

① 若0?{?x

21x1,则sin?x?[??0,?x?k?（k?Z）. 222

1，2，3，4，5，6. 2?]知,x?0，? x?k（k?Z）.结合x?[0，

2，4，6符合要求. 经检验,x?0，

② 若1xx11?{?1,则sin?x?[{??1,?x?2k???（k?Z）. 22222

11592?]知,x?,,. （k?Z）.结合x?[0，2222? x?2k?

经检验,x?159,,均不符合要求. 222

2，4，6,它们的和为12. ? 符合条件的x为0，

x8．已知f(x)为R上增函数,且对任意x?R,都有f[f(x)?3]?4,则f(2)?【答案】 10

xxx【解答】依题意,f(x)?3为常数.设f(x)?3?m,则f(m)?4,f(x)?3?m.

mmm? 3?m?4,3?m?4?0.易知方程3?m?4?0有唯一解m?1.

x?,1f(2)?32?1?10. ? f(x)?3

9．已知集合A的元素都是整数,其中最小的为1,最大的为200.且除1以外,A中每一个数都等于A中某两个数（可以相同）的和.则A的最小值为 .（符号A表示集合A中元素的个数）

【答案】 10

【解答】易知集合A??1，，，，23510，20，40，80，160，200?符合要求.此时,A?10. 下面说明A?9不符合要求.

假设集合A??1,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,200?,x1?x2?x3?x4?x5?x6?x7符合要求.

则x1?1?1?2,x2?2?2?4,x3?8,x4?16,x5?32,x6?64,x7?128.

由于x6?x7?64?128?192?200,因此,200?x7?x7,x7?100.

3

同理,由x5?x6?32?64?96?100,知,x7?100?x6?x6,x6?50.

由x4?x5?16?32?48?50,知,x6?50?x5?x5,x5?25.

由x3?x4?8?16?24?25,知,x5?25?x4?x4,x4?

25与x4为整数矛盾

. 2A?9不符合要求,A?9.同理,A?8也不符合要求.

因此,A的最小值为10.

?x，若x为无理数?10．已知函数f(x)??q?1,则函数f(x)在区间q*，若x?，其中p，q?N，且p、互质，qp?q?pp?

78()上的最大值为 . 89

【答案】 16 17

78

89a78?()（a,??N*）, a??89【解答】若x为有理数,且x?().设x?

由7a8?9a?8a?8???知,?,7??a?8?. 8a??9?7a?7??8a

当??1时,a不存在；

当??2时,存在唯一的a?15,此时x?1516,f(x)?. 1717

7??m?1. 8??

m*当??3时,设a?7??m,其中1?m???1,且m?N,此时f(x)?

167??m?1?9?m?17?(?m?)?(8?17)???0, 178??m17?(8?m)1?7?(8m)

1516时,f(x)取最大值. 1717

816?. 917

16. 17? 若x为有理数,则x?又x为无理数,且x?(,)时,f(x)?x?7889综合以上可知,f(x)在区间(,)上的最大值为78

89二、解答题（共5小题,每小题20分,满分100分.要求写出解题过程）

11．将各项均为正数的数列?an?排成如下所示的三角形数阵（第n行有n个数,同一行中,下标小的数排在左边）.bn表示数阵中,第n行、第1列的数.已知数列?bn?为等比数列,且从第3行开始,各行均构成公差为d的等差数列（第3行的3个数构成公差为d的等差数列；第4行的4个数构成公差为d的等差数 4

列,??）,a1?1,a12?17,a18?34.

（1）求数阵中第m行、第n列的数A(m，n)（用m、n表示）. （2）求a2013的值；

（3）2013是否在该数阵中？并说明理由.

【解答】（1）设?bn?的公比为q.

依题意,a12为数阵中第5行、第2列的数；a18为数阵中第6行、第3列的数.

a1

a2

a3

a4

a5

a6

?

a7 a8

a9

a10

?

? ? ?

? b1?1,bn?qn?1,a12?q4?d?17,a18?q5?2d?34. ? q?2,d?1,bn?2n?1.

?1? A(m，n)?mb?(n?1)d?m2

. 1 ?n?

（2）由1?2?3??62?1953,1?2?3??62?63?2016,2013?1953?60知,

a2013为数阵中第63行,第60列的数.

? a2013?262?59.

（3）假设2013为数阵中第m行、第n列的数

. 第m行中,最小的数为2

m?1

,最大的数为2

m?1

?m?1,

m?1

?2013?2m?1?m?1 ????? ① . ? 2

由于m?10时,2由于m?11时,2

m?1m?1

?m?1?29?9?512?2013,因此m?10不符合①； ?210?1024?2013,因此m?11不符合①；

? 上述不等式①无正整数解. ? 2013不在该数阵中.

12．已知A、B为抛物线C：y?4x上的两个动点,点A在第一象限,点B在第四象限.l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切,P为l1、l2的交点.

（1）若直线AB过抛物线C的焦点F,求证：动点P在一条定直线上,并求此直线方程； （2）设C、D为直线l1、l2与直线x?4的交点,求?PCD面积的最小值.

2

5