倒立摆状态反馈极点配置与LQR控制Matlab实现_刘文秀

2011年5月15日第34卷第10期

ModernElectronicsTechnique

现代电子技术

May2011Vol.34No.10

倒立摆状态反馈极点配置与LQR控制Matlab实现

刘文秀1,郭 伟2,余波年1

(1.广东韶关学院自动化系,广东韶关 512005;2.广东韶关大江南输变电工程有限公司,广东韶关 521005)摘 要:为了实现对绝对不稳定的非线性多变量倒立摆系统的控制,采用了状态反馈极点配置和LQR控制2种方法。状态反馈极点配置是将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上,从而使系统满足瞬态和稳态性能指标。LQR算法是在一定的性能指标下,利用最少的控制能量,来达到最小的状态误差。通过Matlab软件仿真实验,发现2种控制方法对于倒立摆这种不稳定的系统有一定的控制作用,证明了两种控制方案的可行性和有效性。仿真表明二次型最优控制有较小的振荡和超调量,对系统有更好的控制效果。

关键词:倒立摆;Matlab;LQR;极点配置

中图分类号:TN919-34 文献标识码:A 文章编号:1004-373X(2011)10-0088-03

DesignofStateFeedbackPolePlacementandLQRControllerfor

InvertedPendulumBasedonMatlab

LIUWen-xiu1,GUOWei2,YUBo-nian1

(1.DepartmentofAutomation,ShaoguanUniversity,Shaoguan512005China;

2.GuangdongshaoguanDajiangnanPowerTransmission&DistributionengineeringCompany,Shaoguan521005,China)

Abstract:ThestatefeedbackpoleplacementandLQRcontrollerareadoptedtocontroltheinvertedpendulumsystemwhichisabsoluteunstablenonlinearmultivariable.Thestatefeedbackpoleplacementistosettheclosed-loopsystempolesofmultivariablesystemsonthedesiredpositiontomakethesystemsatisfytheperformanceindexesintransientstateandsteadystate.LQRalgorithmusestheleastcontrolenergyundercertainperformanceindextoachievethesmalleststateerrors.ThroughthesimulationexperimentwithMatlabsoftware,itisdiscoveredthatthetwomethodshavesomecontroleffecttothisunstableinvertedpendulumsystem.Itprovesthatthetwomethodsarefeasibleandefficient.Simulationshowsthatthequadraticoptimalcontrolhassmalleroscillationandovershoot,andthesystemhasbettercontroleffect.

Keywords:invertedpendulum;Matlab;LQR;poleplacement

0 引 言

目前对于各高校而言,比较典型的控制对象就是倒

立摆,因为它是一个绝对不稳定的非线性多变量的系统,作为一个多变量系统对于它的控制主要是以现代控制理论为基础的。本文对倒立摆系统的控制方法就是采用现代控制理论中的状态反馈极点配置和LQR算法控制。文章通过Matlab仿真软件实现了对实际一级倒立摆系统的极点配置和LQR控制器的设计,通过仿真进一步验证了系统的时实控制效果及其可靠性。1 直线一级倒立摆工作原理及数学模型

1.1 系统工作原理

直线一级倒立摆系统的结构示意图如图1所示。

图1 倒立摆结构示意图

系统方框图如图2所示,很明显系统是一个闭环的控制系统,由于要控制2个输出变量,即小车的位置以及摆杆与垂直方向的夹角,因此使用2个光电码盘。其中1号光电码盘检测过来的反馈信号是小车的位移和速度信号,2号光电码盘检测过来的反馈信号是摆杆与垂直方向的夹角和角速度,两组反馈信号都送给运动控制卡,1号光电码盘的反馈信号同时也送给伺服驱动器。计算机从控制卡中读取实时数据,做出判断,从而

第10期

刘文秀等:倒立摆状态反馈极点配置与LQR控制Matlab实现

xx=Û0100

0000

10

000

01

xÛx+xxÛ2 倒立摆系统的极点配置设计

1

u089

确定控制决策,最后由控制卡来实现控制决策,产生相应的控制量,使电动机转动,通过皮带最终达到控制小

车位移和摆杆与垂直方向的夹角的目的。

29.4

00

01

Y=

图2 倒立摆系统组成框图

=+u

1.2 一级倒立摆数学模型

若要实现对倒立摆系统的控制,首先要建立倒立摆的数学模型。为了简化后期的工作,需要建立一个准确简练的数学模型。在建立模型的过程中,要抓住主要因素,忽略次要因素,本系统忽略了空气流动阻力以及各种次要的摩擦阻力,这样就得到了如图3所示的小车和匀质刚性杆所组成的系统。

系统参数来自固高公司生产的教学产品中的相关参数为[1]:M为小车质量,M=1.096kg;m为摆杆质量,大小为0.109kg;b为小车摩擦系数大小为0.1N/m/sec;l为摆杆转动轴心到杆质心的长度,大小为0.25m;I为摆杆惯量大小为0.0034kg#m2;F为水平方向加在小车上的力;x是输出量小车的位置;H是输出量摆杆与垂直方向的夹角;T是采样频率,大小为0.005s

。

极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上,从而使系统满足瞬态和稳态性能指标[2]。

首先要判断系统是否能够通过状态反馈任意配置极点,然后选取期望的闭环极点进行状态反馈控制器的设计。依据经验,本系统为四阶系统,因此可选取4个期望极点,这里选取K1,2=-10,K3,4=-2?23。极点配置过程可由下面的Matlab程序实现[5-6]。

ctrb(A,B)

obsv(A,C)

rc=rank(ctrb(A,B))ro=rank(obsv(A,C))

P=[-10,-10,-2+2*sqrt(3)*i,-2-2*sqrt(3)*i];K=acker(A,B,P)Ac=A-B*K;Bc=B;Cc=C;Dc=D;

T=0:0.005:5;

U=0.2*ones(size(T));Cn=[1000];

Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K);Bcn=[Nbar*B];

[Y,X]=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T);figure

plot(T,Y(:,1),c-bc,T,Y(:,2),c--rc)legend(cCartPositionc,cPendulumAnglec)grid

[3-4]

图3 小车倒立摆系统

根据牛顿运动定律,并经过相关的整理得到系统状

态空间方程:

xx=Ûx0000

100010

000

4l00

01001xÛx+xxÛ代入相关的参数得到系统状态空间方程:

010u

4l运行该程序,即可得到配置极点后系统的输出响应如图4。实线是小车位置的变化曲线,虚线是摆杆与垂直方向的夹角的变化曲线,从图中可以看出通过极点配置对系统的2个输出量都有良好的控制效果,经过2.5s的过渡过程,小车能够保持稳定。3 倒立摆系统的LQR算法设计

线性二次型最优控制算法LQR是现代控制理论

Y==+u

中一种重要的、基本的方法,LQR算法的目的是在一定的性能指标下,使系统的控制效果最佳,即利用最少的控制能量,来达到最小的状态误差。对系统状态方:(X(U([7-8]

90

现代电子技术

制方法比极点配置方法效果更佳。

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U(t)=-KX(t)的矩阵K,使得性能指标J=

Q

]

[XT(t)QX(t)+UT(t)RU(t)]dt达到最小。式中:

Q是正定(或正半定)实对称矩阵,R是正定实对称

矩阵。

图5 LQR算法下系统的输出响应图

4 结 语

图4

配置极点后系统的输出响应图

倒立摆系统是控制理论研究中的一种理想的实验手段,通过该系统可以验证控制策略的效果。本文通过

Matlab软件实现了倒立摆极点配置和LQR控制器的设计,方便快捷,实用性强。

参 考 文 献

[1]固高公司.固高教学产品Matlab实时控制软件使用手册

[M].深圳:固高公司,2004.

[2]刘豹.现代控制理论[M].北京:机械工业出版社,2005.[3]王正林,王胜开,陈国顺.Matlab/Simulink与控制系统仿真

[M].北京:电子工业出版社,2005.

[4]王正林,刘明.精通Matlab7[M].北京:电子工业出版

社,2007.

[5]张晓华.控制系统数字仿真与CAD[M].北京:机械工业出

版社,2005.

[6]李国勇.计算机仿真技术与CAD[M].2版.北京:电子工业

出版社,2008.

[7]潘健,王俊,汤才刚.基于倒立摆的两种控制策略的研究

[J].现代电子技术,2008,31(1):129-143.

[8]李晓燕.平面一级倒立摆系统的智能控制策略研究[D].太

原:太原理工大学,2005.

[9]丛爽.张冬军.魏衡华.单级倒立摆三种控制方法的对比研

究[J].系统工程与电子技术,2001,23(2):47-49.

[10]梁春辉,冯雷,张欣.直线一级倒立摆控制策略研究及仿真

分析[J].长春工程学院学报,2010,11(1):36-40.

根据期望的性能指标选取Q和R,然后利用Matlab中的一条命令lqr就能确定最佳反馈增益矩阵。这里选

取R=1,Q=[1000 0 0 0;0 0 0 0;0 0 200 0;0 0 0 0],其最佳反馈增益矩阵K=[-31.6228

-20.150

7

[9]

72.7181

13.1552],具体的Matlab程序如下:

Q=[1000000;0000;002000;0000];R=1;K=lqr(A,B,Q,R)Ac=[(A-B*K)];Bc=[B];

Cc=[C];Dc=[D];T=0:0.005:5;U=0.2*ones(size(T));T=0:0.005:5;

U=0.2*ones(size(T));Cn=[1000];

Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K);Bcn=[Nbar*B];

[Y,X]=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T);plot(T,Y(:,1),c--rc,T,Y(:,2),c:kc)

legend(cLQRCartPositionc,cLQRPendulumAnglec)grid

运行程序后可得到LQR算法下,系统的输出阶跃响应图如图6。从图中可以看出通过LQR控制器对系统的两个输出量都有良好的控制效果

[10]

,经过不到2s

的过渡过程,小车能够保持稳定。由此可以看出这种控

作者简介:刘文秀 女,1980年出生,内蒙古人,硕士研究生,讲师。从事系统仿真方向的研究。

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