矩阵秩的两个降阶定理_呙林兵[1]

第23卷第3期2014年9月河南教育学院学报(自然科学版)

JournalofHenanInstituteofEducation(NaturalScienceEdition)Vol．23No．3Sep．2014

doi：10．3969/j．issn．1007－0834．2014．03．003

矩阵秩的两个降阶定理

呙林兵

(长江大学一年级教学工作部，湖北荆州434023)

摘要：对矩阵的秩进行了研究，给出了矩阵秩的两个降阶定理，可将高阶矩阵的求秩问题转化为求低阶矩阵的秩，并得出了一个关于行列式计算的重要推论．

关键词：矩阵;秩;行列式中图分类号：O175．8

文献标识码：A

文章编号：1007－0834（2014）03－0009－03

0引言

矩阵的秩是矩阵中的一个重要概念，关于矩阵秩的性质许多文献均有研究，得到了大量关于矩阵秩的不

等式和等式，但能否将高阶矩阵的求秩问题化为求低阶矩阵的秩呢？1

引理

［1］

引理1

设M=

(

A0

0D

)

，则r（M）=r（A）+r（D）．

证明r（D）=q，Q1，P2，Q2使得P1AQ1=设r（A）=p，则存在可逆矩阵P1，

?Ep?=????

???，则r（M）=r（A）+r（D）．??0?

(

Ep0

00

)

，P2AQ2=

(

Eq0

00

)

，

(

P10

0P2

)()(

A

00

D

Q10

0Q2

)

Eq

引理2证明引理3证明

设M=

(

A0

BD

)

，且A是r阶可逆矩阵，则r（M）=r（A）+r（D）．

由于A是可逆矩阵，且

［2］

(

A0

BD

)(

－1

Er0

－A－1BE

)()

=A

00

D

=A0

，由引理1可得r（M）=r（A）+r（D）．D－CA－1B．B

设M=

(

AC

BD

)

，其中A是可逆矩阵，则M=A

由于A是可逆矩阵，则B

(

Er－CAB

0E

)()(

A

BC

D=A

D－CAB

－1

)

，从而

(

AC

BD

)(

=

Er－CA

－1

0E

)

－1

·

(

2

A0

D－CAB定理及证明

－1

)

，则

AC

BD

=

A0

D－CAB

－1

D－CA－1B．

定理1（第一降阶定理）设M=

(

AC

BD

)

为一个m×n矩阵，若A为r阶可逆矩阵，则r（M）=r（A）+r（D－

－1

CA－1B）；若D为可逆矩阵，则r（M）=r（D）+r（A－BDC）．

收稿日期：2014－04－11

基金项目：湖北省教育厅教学研究项目（2010199）

作者简介：呙林兵（1970—），男，湖北荆州人，长江大学一年级教学工作部副教授，主要研究方向：矩阵论．

10河南教育学院学报(自然科学版)2014年

证明由于

(

Er－CA－1

0Em－rBD

)()(

A

BC

D=

A0

BD－CA－1B

)()(

，A

BC

D=

Er－CA－1

0Em－r

)(

－1

·

A0

BD－CA－1B)

，

则由引理2可得r（

定理的第二部分可类似证得．

(

AC

)

）=r（

(

ABD－CAB

－1)

）=r（A）+r（D－CA－1B）．

由定理1可得如下推论1．

AB－1

A、D分别是r阶和s阶的可逆矩阵，推论1设M=是一个m×n矩阵，则r（D－CAB）=r（D）－

CD

r（A）+r（A－BD－1C）．

12…k

定理2（第二降阶定理）设A是m×n矩阵，Δk=A≠0是A的一个k阶顺序主子式，

12…k

sk+1，…sk+1，k+1k+2n??sk+1，

12…ki??的秩，sij=A，i=k+1，则r（A）=k+p，其中p为矩阵S=

??12…kj??

sm，…smn??sm，k+1k+2

()

()

()

k+2，…，m；j=k+1，k+2，…，n．这里A

(

11

22

……

kk

ij

)

［3］

2，…，k，i行和第1，2，…，表示由矩阵A的第1，

k，j列的元素，按原来的位子所形成的矩阵．

A1B12…k12…k

AA=，A=A，B=A，C=证明将矩阵分块其中1

12…kk+1k+2…nCD

k+1k+2…mk+1k+2…mA，D=A．由第一降阶定理可知Ｒ（A）=k+Ｒ（D－CA1－1B）．将

12…kk+1k+2…n

T

C=（αk+1，…，B=（βk+1，βk+2，…，矩阵C按行分块，αk+2，αm），将矩阵B按列分块，βn），显然这里αi为由矩

阵A的第i行前k列的元素形成的行向量，βj为由A的第j列前k行的元素形成的列向量，则

()()()

()()

T－1

D－CA－1B=D－(αk+1，…，…，αk+2，αm)A1（βk+1，βk+2，βn）=

k+1?ak+1，

???

?am，k+1

ak+1，k+2

am，k+2

……

－1

ak+1，?αk+1A1βk+1n??－?

????

amn??αmA1－1βk+1

αk+1A1βk+2

αmA1βk+2

……

－1

－1

……

αk+1A1βn?

?=

??－1

αmA1βn?

－1

－1

?ak+1，k+1－αk+1A1βk+1???－1?am，k+1－αmA1βk+1

－1

ak+1，k+2－αk+1A1βk+2



－1am，k+1－αmA1βk+2

－1

ak+1，n－αk+1A1βn?

?．

??－1

amn－αmA1βn?

1

由引理3可知aij－αiAβj=

A1

－11

A1αi

βjaij1A1=

Δkαi

βk+2ak+1，k+2βk+2am，k+2

βjaij

，i=k+1，k+2，…，m；j=k+1，k+2，…，n，从1A1

Δkαk+1

1A1Δkαm

βnak+1，nβnamn

?

???=????

βk+1?1A1

?Δkαak+1，k+1k+1?－1

而D－CA1B=?

?

βk+1?1A1

?Δam，kαmk+1?

k+1?sk+1，

1?

Δk???sm，k+1

1A1

Δkαk+11A1Δkαm

…

…

sk+1，n?

1－1

?=S，显然r（D－CAB）=r（S）=p，则有r（A）=k+p．

?Δk?

sm，…smn?k+2

由定理2的证明可得如下推论2．

12…k

推论2设A是n×n矩阵，Δk=A≠0，k=1，2，…，n－1，记sij=

12…k

sk+1，k+2

…

()

第3期呙林兵:矩阵秩的两个降阶定理11

sk+1，k+1

A

sk+1，k+2sk+2，k+2

sn，k+2

………

sk+1，nsk+2，nsnn

．

(

11

22

……

kk

ij

)

，i，j=k+1，k+2，…，n，则A=

sk+2，k+11n－k－1Δk

sn，k+1

证明A1

先将矩阵A分块A=

(

A1C

BD

)

，其中A1=A

(

11

22

……

kk

)

，由于A1=Δk≠0，由引理3知A=

D－CA1－1B，又由定理2的证明可知，

βk+1βk+2?1A11A1

?ΔkαΔkαk+1ak+1，ak+1，k+1k+1k+2?

D－CA1－1B=?

?

?1A1βk+11A1βk+2?ΔΔkαnan，an，kαnk+1k+2?

1

sk+2Δkk+1，

1

sk+2Δkn，

sk+1，k+1

……

1

sn?Δkk+1，??，D－CA1－1B=则?

?1

snn?

?Δk

………

sk+1，nsk+2，nsnn

．

…

1A1

Δkαk+1

1A1Δkαnsk+1，k+1

βnak+1，nβnann

…

?

???=????

………

sk+1，nsk+2，nsnn

，从而有

?1sk+1，

k+1

?Δk????1sn，?Δkk+2

sk+1，k+2sk+2，k+2

sn，k+2

1

n－kΔk

sk+2，k+1

sn，k+1

sk+1，k+2sk+2，k+2

sn，k+2

A=

sk+2，k+11

n－k－1Δk

sn，k+1

该推论可将高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算，可作为行列式的阶定理，在行列式的计算中有

一定的意义．3

结束语

通过对矩阵的秩的研究，得到了两个重要矩阵秩的阶定理，利用这两个定理可将高阶矩阵的求逆问题转化为低阶矩阵的求逆问题，并得到一个行列式计算的降阶定理，这在矩阵的秩和行列式的理论与具体计算中均有一定的意义．

参考文献

［1］钱吉林．高等代数题解精粹［M］．北京：中央民族大学出版社，2002．［2］许甫华，．北京：清华大学出版社，2006．张贤科．高等代数解题方法［M］［3］屠伯埙，M］．上海：上海科学技术出版社，1987．徐诚浩，王芬．高等代数学［

TwoTheoremsofMatrixＲankＲeduction

GUOLin-bing

（FreshmanEducationDepartment，YangtzeUniversity，Jingzhou434023，China）

Abstract：Therankofthematrixwasstudied，andtwotheoremsofmatrixrankreductionweregiven．Thematricesofhigherordercanbetransformedforthesakeoflow-rankproblemsrankofmatrix，andanimportantcorollarya-boutdeterminantcalculationwasobtained．Keywords：matrix；rank；determinant