最经典中考试题22题类比探究带答案

2015年中考类比探究题

1、【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．

【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．

【拓展延伸】（3）在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

2．某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：DP=DQ；

（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；

（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积．

3．已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

1

4、有一副直角三角板，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．

（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC= 度； （2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；

（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．

5．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证

DEAD

； ?

CFCD

DEAD

成立？?

CFCD

（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得并证明你的结论；

（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出

A

FEB

第24题图①

DE

的值． CF

D

A

F

D

D

A

FG

B

E

C

B

第24题图②

第24题图③

C

6、如图，矩形ABCD中，∠ACB =30o，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处，以点

P为旋转中心转动三角板，三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线交于E,F. (1)当PE⊥AB,PF⊥BC时，如图1，则

PE

的值为 . PF

o

o

(2)现将三角板绕点P逆时针旋转?（0???60）角，如图2，求

o

o

PE

的值； PF

PE

的值是否变化？证明你的PF

A

P

D

(3)在（2）的基础上继续旋转，当60???90，且使AP:PC=1：2时，如图3，结论.

B

图1

A

E

D

P

E

C

A

P

D

F

B

图2

（第25题图）

F

C

B

C

E

图3

F

2

2015年中考类比试题

：（1）∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN；

（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN；3）∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴，则，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN

2

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝90°∵∠PDQ＝90°∴∠ADP+∠PDC＝90°∠CDQ+∠PDC＝90°∠ADP＝∠CDQ在△ADP与△CDQ中∴△ADP≌△CDQ(ASA)

∴DP＝DQ（2）解：PE＝QE．证明如下：∵ DE是∠PDQ的平分线∴∠PDE＝∠QDE在△PDE与△QDE中

∴△PDE≌△QDE(SAS)∴PE＝QE（3）解：∵AB:AP＝3:4，AB＝6∴AP＝8,BP＝2,

由（1）知：△ADP≌△CDQ 则AP＝CQ＝8由（2）知：△PDE≌△QDE，PE＝QE设CE＝x，则PE＝QE＝CQ-CE＝8-x在Rt△PEB中，BP＝2,BE＝6＋x，PE＝8-x由勾股定理得：22＋（6＋x）2＝（8-x）2

解得：x＝

∴∴△DEP

的面积为： 3

：（1）证明：如图1，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD。∴点B为线段AD的中点。又∵点M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线。∴BM∥CF。

（2）如图2，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，

3

∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，∴点B为AD中点，又点M为AF中点。∴BM=DF。分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a。∴点E为FG中点，又点M为AF中点。∴

ME=AG。∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a。∴

BM=ME=。（3）证明：如图3，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD。∴点B为AD中点。又点M为AF中点，∴

BM=DF。延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=EG，CF=CG。∴点E为FG中点。又点M为AF中点，∴ME=AG。在△ACG与△DCF

中，∵

，∴△ACG≌△DCF（SAS）。∴DF=AG，∴BM=ME

4

：（1）15°（2）由平移可知，∠ACF=∠E=30°，在Rt△ACF中，

∵AC=6， ∠ACF=30°∴（3）如图，分二种情况讨论：设过点M作MN⊥AB于点N，则 MN∥DE，∠NMB=∠B=45°,∴NB=NM，NF=NB－FB=MN-x∵MN∥DE∴△FMN∽FED,∴，即

，∴①当2＜x≤6－时，

即：②当6－＜x≤6时，如图(2)， 设AC与EF交于点H，

4

∵AF=6－x，∠AHF=∠E=30

°，∴

综上所述，当2＜x≤6－时，; 当6－＜x≤6时，

5

：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠FDC=90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴，即=.（2）当∠B+∠EGC=180°时，

=成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠A=∠EGC=∠FGD，∵∠FDG=∠EDA，

∴△DFG∽△DEA，∴，∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD=∠CDF，∵∠GCD=∠DCF，∴△CGD∽△CDF，

∴，∴，∴，即当∠B+∠EGC=180°时，成立．（3）

解：．理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，∵AB⊥AD，∴∠A=∠M=∠CNA=90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM=CN，AN=CM，∵在△BAD和△BCD中∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD=∠A=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠CBM=∠ADC，∵∠CND=∠M=90°，∴△BCM∽△DCN

，∴，∴∴在Rt△CMB中，，BM=AM﹣AB=x﹣6，由勾

股定理得：

，∴，解得 x=0（舍去），x=∴CN=，

∵∠A=∠FGD=90°，∴∠AED+∠AFG=180°，∵∠AFG+∠NFC=180°，∴∠AED=∠CFN，∵∠A=∠CNF=90°，

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