2015年全国初中数学联合竞赛初二第2试(A)(含参考答案)word版

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2015年全国初中数学联合竞赛初二第2试(A)(含参考答案)word版

2015年全国初中数学联合竞赛初二第2试(A)(含参考答案)word版

2015年全国初中数学联合竞赛初二第2试(A)

（考试时间：90分钟，总分：70分）

一、（本题20分）求所有的两位数A，使得A2的末两位数字构成的数恰好为A．

二、（本题25分）在四边形ABCD中，AC=4，CD=3，∠ADB=∠ABD=∠ACD=45°，求BC．

三、（本题25分）已知实数a，b，c满足条件

abc??的值． b?cc?aa?b

abc???0．求代数式222(b?c)(c?a)(a?b)

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2015年全国初中数学联合竞赛初二第2试(A)

参考答案

一、解：设A=10a+b，其中a，b均为整数且1≤a≤9，0≤b≤9，则

A2?A?(10a?b)2?(10a?b)?100a2?10a(2b?1)?b2?b

由题意可知，A?A的末两位数字均为0

所以b2?b?b(b?1)必为10的倍数，验证可知：只可能b=5或6或0

当b=5时，A2?A?100a2?90a?20?100a2?100a?10(2?a)，只可能a=2，此时A=25 当b=6时，A2?A?100a2?110a?30?100a2?100a?10(3?a)，只可能a=7，此时A=76 当b=0时，A?A?100a?10a，只可能a=0，不符合，舍去

综上所述，符合要求的两位数为25和76．

二、解：∵∠ABD=∠ACD=45°∴A、B、C、D四点共圆

设AD=AB=x，则BD?2222x，由托勒密定理得AD?BC?AB?CD?AC?BD

即x?BC?3x?4?2x ∴BC?42?3

三、解：(abc111abc????)???? b?cc?aa?bb?cc?aa?b(b?c)2(c?a)2(a?b)2a11b11c11?(?)??(?)??(?) b?cc?aa?bc?ab?ca?ba?bb?cc?a

?a(c?b)b(a?c)c(b?a)???0 ① (b?c)(c?a)(a?b)(b?c)(c?a)(a?b)(b?c)(c?a)(a?b)

111??) b?cc?aa?b显然a，b，c互不相等，所以 (a?b)(b?c)(c?a)(

?(a?b)(c?a)?(a?b)(b?c)?(b?c)(c?a)

?ac?a2?bc?ab?ab?ac?b2?bc?bc?ab?c2?ac

??a2?b2?c2?ab?bc?ac??

?1(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0 2??111???0 b?cc?aa?b

abc???0．综合①式得b?cc?aa?b

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