初中联赛备考讲义

全国初中数学联赛参考考试大纲（2006年通过）

全国初中数学联赛以其严格的规范性著称，试题的命制参考初中数学竞赛大纲（2006年通

过）版本。

1．数

整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶

数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的

计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

2．代数式

综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；

整式、分式、根式的恒等变形；恒等式的证明。

3．方程和不等式

含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一

元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式

的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程(组)。

4．函数的图象和性质；

二次函数在给定区间上的最值，简单分式函数的最值；含字母系数的二次函数。

5．几何

三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换； 三角形的心(内心、外心、垂心、重

心)及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理，垂玄定理；四种命题及其

关系。（充分必要性）

6．逻辑推理问题

抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题；简单的逻辑推理问题，反证法；极端原理的简单

应用；枚举法及其简单应用。

数学周报杯初中数学竞赛细则

2010年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛概况

中国教育学会中学数学教学专业委员会2010年全国初中数学竞赛于3月21日上午9∶30至11∶30举行，参加本次竞赛活动的有天津、内蒙古、吉林、上海、福建、山东、河南、湖北、湖南、广东、海南、广西、贵州、青海、甘肃、宁夏、新疆、新疆生产建设兵团等我会18个团体会员单位。

我会全国初中数学竞赛活动至今已举办了13届。本次竞赛活动得到我会会报《数学周报》的大力支持，冠名为“《数学周报》杯”，全称为“中国教育学会中学数学教学专业委员会?《数学周报》杯?2010年全国初中数学竞赛”。

一、举办全国初中数学竞赛活动的宗旨

积极推进素质教育。根据教育部制订的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）的课程理念、内容和要求，促进初中活动课程的开展，满足学有余力的学生学习数学的愿望，激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学的能力和创新的意识，发展他们的数学能力。

二、举办全国初中数学竞赛活动的基本原则

1．使竞赛活动成为学生课外主动的读书、学习活动，有利于他们数学知识、能力的发展和身心健康成长，促进初中数学教学质量的提高。

2．坚持学校与学生自愿参加的原则，面向部分学有余力的中上等学生。

3．按照当地教育主管部门、学校关于活动课程和课外活动的统一安排，不加重学生、教师、教育主管部门的负担，不影响学校正常的教学秩序。

4．根据我会是“非营利性社会组织”的性质，坚持以竞赛活动养活动，不得以营利为目的。

三、全国初中数学竞赛活动的组织领导

1．此项竞赛工作由我会统一组织。为便于工作，我会成立竞赛命题组和竞赛秘书组。竞赛命题组由命题专家和审题专家组成，主要任务是组织命题工作；竞赛秘书组由我会秘书处负责，主要任务是组织、协调竞赛工作，审核收费标准和经费开支情况。

2．各省（自治区、直辖市）、新疆生产建设兵团的竞赛工作，在得到当地教育主管部门批准或同意后，由我会团体会员单位组织实施，但要做好与各地教学研究部门、各地数学会等方面的协商工作，加强团结，共同把这项工作搞好。具体如何组织由各地根据实际情况自定。

四、全国初中数学竞赛活动试题的命题范围及结构

命题范围以《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的理念、内容和要求为基本依据，着重考查学生对数学知识的理解和应用数学知识的能力。

为了适应各地的不同需要，试题有一定灵活性，试卷由选择题5道、填空题5道和解答题4道构成。选择题和填空题只给出了一种，解答题4道（即11—14题）给出了两种（分A、B两组）。各地可根据实际情况，由5道选择题（1—5）、5道填空题（6—10）和4道解答题（可选A组4道题，也可选B组4道题，也可从A、B组中任选4道题）构成试卷。

一．初赛试题分析

广东省2009年初中数学竞赛初赛试卷

学校： 班级： 姓名：

说明：考试时间：60分钟．总分120分．每小题4分，在每小题给出的

四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在下面的答题卡上。

1．某校为了解学生的体能情况，随机抽查30名初三学生，测试1分钟内

仰卧起坐的次数，并绘制成如图1所示的频数分布直方图，则仰卧起坐次

数在25～30次的频率是（ ）

A、0.1 B、0.2 C、0.3 D、0.4

2．若a2n?3，则2a6n?1的值为（ ）

A、17 B、35 C、53 D、1457

3．从一副扑克牌中抽出如下四张牌，其中是中心对称图形的有（ ）

A、1张 B、2张 C、3张 D、4张

4．小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太

阳转动的情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为

（ ）

A、上午12时 B、上午10时 C、上午9时30分 D、上午8时

5．如图2所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，则两

个指针同时落在偶数上的概率是（ ）

561019

A、25 B、25 C、25 D、25

6．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以

BC为公共边的“共边三角形”有（ ）

A、2对 B、3对 C、4对 D、6对 A

D

B图3EC

cos60）关于x轴对称的点的坐标是（ ）7．点M（?sin60，

1111(?（?，?(?-）22 D

、22 22 C

、A

、22 B

、8．从鱼塘打捞草鱼300尾，从中任选10尾，称得每尾的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，

1.2，1.7，1.5，1.8，1.3，1.4（单位：kg），依此估计这300尾草鱼的总质量大约是（ ）

A、450kg B、150kg C、45kg D、15kg

2201）， sin60，?79

．下列实数属于无理数有（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

y?

10．在函数k （k?0)A(x,y)， A2(x2,y2)， A3(x3,y3)，已知x的图像上有三点111

x1?x2?0?x3，则下列各式中正确的是（ ）

A、y1?0?y2 B、y3?0?y1 C、y2?y1?y3 D、y3?y1?y2

的解集为a?1，那么x?1的取值范围是a?1)x?11．如果关于x的不等式（a

（ ）

A、a?0 B、a?0 C、a??1 D、a??1

12．如图4，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④SABC?S四边形DEOF中错误的有（ ） 图4A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

13．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图5所示的三角形空

地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，

则购买这种草皮至少需要（ ）

A、450a元 B、300a元 C、225a元 D、150a元

123456720BA图5米C2=4，2=8，2=16，2=32，2=64，2=128，2=256??通过观14．观察下列算式：2=2，

118察，用你所发现的规律写出的末位数字是（ ） 8

A、2 B、4 C、6 D、8

，a?b?25，a?b的值为（ ） 15．已知a?b?1

A、7 B、－7 C、±7 D、±9

16．某单位购买甲、乙两种纯净水若干桶，共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元；乙种水桶数是甲种水桶数的75%。设买甲种水x桶，买乙种水y桶，则所列方程组中正确的是（ ）

22

?8x?6y?250?

y?75%xA、? B、?6x?8y?250?

?x?75%y

?8x?6y?250

?

?x?75%y ?6x?8y?250

?

y?75%xC、? D、

17．已知△ABC如图6，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）

A

55A

B55

5

55

C

D5

5

675°

图6

6

B

C

18．下列命题中正确的是（ ）

22

b?0 若a?b，则a?bA、 B、若ab?0，则a?0，

C、

若a?b， 则a?b

22

若a?b， 则

D、

11?ab

19．小明外出注游玩，带上棕色、蓝色、淡黄色3件上衣和蓝色、白色2条长裤，他任意拿出1件上衣和1条长裤正好是棕色上衣和蓝色长裤的概率是（ ）

1111A、3 B、5 C、6 D、9

20．如图7，抛物线y?ax?bx?c与x轴交于点A、B，与y轴交于C

2

x

1

OA，那么b的值为2如果OB=OC=（

） 11

A、－

2

B、－1

C、2 D、2

?

21．如图8，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面， 使AB、DC重合，则所围成的几何体图形是（ ）

A B C D 图8

a?b?c0，?并且

22．已知

1

a?b，?则0cb1(ac1?c1?(a11的值为)?c(ab

?)

（ ）

A、0 B、1 C、－1 D、－3

23．如图9，正方形的网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（ ） A、175° B、180° C、210° D、225°

24．一个半径为r的圆内切于一个等腰直角三角形，另一个半径为R的

R

圆外接于这个三角形，则r等于（ ）

A

1 B

1 C、2 D、3

图9

25．小莉与小明一起用A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x,小明掷的B立方体朝上的数字

2

y??x?4x为y，来确定点P（x,y）,那么他们各掷一次所确定的点P（x,y）落在已知抛物线

上的概率为（ ）

1111

A、18 B、12 C、9 D、6

小数部分为b， a）?b为26

的整数部分为a，（ ）

A

、1 B、1 C

1 D、2

27．如图10，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，

在直线l上取一点P，使得∠APB=30，则满足条件的点P的个数是（ ） A、3个 B、2个 C、1个 D、不存在

28．将一个无盖正方体纸盒展开（如图11），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图12），则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是（ ）

1124A、2 B、3 C、3 D、5

图11图12

29．如图13，两块重合的正方形纸片，上面正方形绕正方形的中心旋转0°～90°，旋转时露出的

△ABC的面积（S）会随着旋转角度（n）的变化而变化，那么S与n关系的图像大致是（ ）