A SURVEY OF COBORDISM THEORY -Milnor

菲尔兹奖得主 Milnor 的文章。配边理论概览

SURVEY OF COBORDISM THEORY

Autor(en):

Objekttyp:Milnor, J.Article

Zeitschrift:L'Enseignement Mathématique

Band (Jahr):8 (1962)

Heft 1-2:L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE

PDF erstellt am:27.04.2015

Persistenter Link:http://wendang.chazidian.com/10.5169/seals-37949

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ASURVEYOFCOBORDISMTHEORY1

byJ.Milnor

Thispaperwillstartoutwithadiscussionofknownresultsandthenwilltaperoffintoadiscussionofunsolvedproblems.Thetheoryofcobordism

ItwasinitiatedbyL.Pontrjaginand

V.A.Rohlin[10,12].cameofâgewiththeworkofR.Thom

[17].Thebasicquestioninthistheoryisthefollowing.LetJtbesomeclassofcompactmanifolds.GivenVhowcanonedécidewhetherornotVistheboundaryofsomeothermanifoldinM?OfcourseanecessaryconditionisthatVitselfmustbeaclosedmanifold:thatistheboundarydVmustbevacuous.

1.Theclassicalcobordismgroups$N_k$and$.AsafirstillustrationofthisproblemletQ)dénotetheclassofailcompactdifîerentiablemanifolds.ThemanifoldsVeQ)neednotbeconnectedororientable,andareallowedtohâveboundaries.Theorem1(Pontrjagin,Thom).?AclosedmanifoldVeQ)istheboundaryofsome(k+1)-dimensionalmanifoldin<3)ifandonlyiftheStiefel-Whitneynui/tberswwit???wwin[V]areailzéro.(Explanation:TheStiefel-Whitneycohomologyclasses2)

J2)aredefmedforexampleinSteenrcfd[15].iIfi±+...+in=kisanypartitionofkthenthecupproductw

canonicalti...winis"atopdimensionalcohomologyclass.Applyingthe

intégration"homomorphismweobtaina"Stiefel-Whitneynumber"wtl...win[V]eJ2>)Junel96o.i)TalkdeliveredattheZurichColloquiumonDifferentialGeometryandTopology,2)ThenotationJwillbeusedfortheintegersandJ2J2fortheintegersmodulo2.

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Thenon-orientedcobordismgroupNfcfollows.=Hk(3f)isconstructedasGiventwo/c-manifoldsF,willVe3ithesumV+V

meanthe(disjoint)topologicalsum,providedwithadifferentiablestructureintheobviousway.

Définition.TwoclosedmanifoldsV\VeQ)arecongftientmodulo~d@ifVThe+Y'istheboundaryofsomemanifoldin3f.setofailcongruenceclassesofclosedA-manifolds,underthecompositionopération+,foraistherequiredgroupNk.WewillalsousethenotationHk(Q))forthisgroupsinceitissomethinglikeahomologygroup.(TheRussiantermfor"cobordism"is"

Itintrinsichomology".)followsfromTheorem1thateachNkisafiniteabeliangroupoftheform/?©...©J2.

ThecartesianproductopérationbetweendifîerentiablemanifoldsgivesrisetoabilinearpairingThusthegradedgroupN*=(NQyiV1?...)hasthestructureofagradedring.Theorem2(Thom).Thenon-orientedcobordismringN*has

thestructureofapolynomial?algebrawithonegeneratorXkeNforeachdimensionwhichisnotoftheform2mIf-l.fekiseventhentherealprojective/c-spacecanbetakenasgenerator.ForkoddgeneratorshâvebeenconstructedbyDold[4].

Thom'sproofofTheorems1and2involvesabrilliantmixtureofalgebraandgeometry.AkeystepintheargumentishisproofthatNkisisomorphictoacertainhomotopynottrytogivedétails.group.Iwill

NextconsidertheclassQ)oconsistingofailorienteddifîhttp://wendang.chazidian.compactTheoremI'.?AclosedmanifoldinQi0istheboundaryofa

manifoldinQ)oifandonlyifbothitsStiefel-WhitneynumbersanditsPontrjaginnumbersarezéro.

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ThisresuitisduetoPontrjagin,Thom,Milnor,Averbuh,andWall.(See[2,9,19].)ForthedéfinitionofthePontrjaginnumbersph...pin[V]eJthereaderisreferedtoHirzebruch[6].Thèsenumbersaredefinedonlyifthedimensionkisamultipleof4.

Theorientedcobordismring£1*=H*(<30)isdefinedasfollows.ForVeQ)olet?VdénotethesamemanifoldVwiththeoppositeorientation.Wewillsaythatif

example,foranyclosedmanifoldFwehâveV=V(modsince(?V)+VistheboundaryofsomemanifoldinQ)

/dénotestheunitinterval.o.Asan~d!30)ThesetofaiïsuchcongruenceclassesformtherequiredgroupQk.Againthecartesianproductopérationmakes£1*=(Qo,Q,^...)intoagradedring.ItfollowsfromTheorem1'that£lkisafinitelygeneratedgroupoftheformwherewhereinfinitécyclicsummandscanoccuronlyifk=

Yl2,Y0(mod4).Theorem2.TheringQ*,modulotheidéalconsistingof2-torsionéléments,isapolynomialringJ[Y4,8,12,...]withone

generàtorineachdimensiondivisibleby4.YB,Y?-Thecomplexprojectivespaceofrealdimension4mcanbetakenasgeneràtorform=1,2,3.Howeveradifférentgeneràtorisneededindimension16.

Foradescriptionofthe2-torsioninQ*thereaderisreferredtoWalPspaper.

2.ManifoldswithX-structure.

.Inthissectionwewilldefinetheconceptofan"X-structure"onthetangentbundleofadifferentiablemanifold;andstudythecorrespondingcobordismtheory.

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FirstrecallSteenrod'sdéfinitionofatensorfield[15,§6.4and§9.1withmildaltérations].EverydifîerentiableA-manifoldVcanbemadeRiemannianandhencehasatangentbundlewithstructural.

thegroupOkLetXbeanytopologicalspaceonwhichgroupOkacts.ThenwecanformtheweaklyassociatedbundlewithbasespaceVandfibreX.Thismaybecalledthe"tensorbundleoftypeX"anditscross-sectionsare"tensorfields".Asanexample,if

O2mlOIUk=2m,thenO2mactsonthecosetspace2mm.

Across-sectionofthecorrespondingbundleiscalledaquasi(oralmost)complexstructureonV.(See[15,§41.10].)

Wewillmodifythisdéfinitionasfollows,sothatitmakessenséforaildimensionssimultaneously.Let0dénotetheunionoftheorthogonalgroupsO1OO2OO3O1c2

infinitéc3c...inthefine

topology.Thenwerequirethatthisorthogonalgroup0actonthespaceX.ItfollowsthateachOkactsonX.HencethereisatensorbundleoftypeXoveranymanifoldFei

Définition:Ahomotopyclassofcross-sectionsofthetensorbundlewithfibreXoverViscalledanX-structureonV.AmanifoldVeQ)togetherwithanX-structureonViscalledanX-manifold.WewillstillusethesinglesymbolthisVtodénotepair.

NowifVisanX-manifoldthendFisalso.GivenanyclosedX-manifoldVonecandefmeasecondZ-manifold?VsothatThusonecandefmeacobordismgroupfortheclassofX-manifolds.TheresultinggroupwillbedenotedbyN

X-cobordismk(X)andcalledthegroup.(FollowingAtiyah[1]thiscouldalsobecalledthek-th"bordismgroup"oftheO-spaceX.)

Example1.LetOjUdénotetheunionofthespacesinthefinetopologywith0actingonO/UintheusualThenamanifoldwithan0/f/-structurewillbecalledway.aweaklycomplexmanifold.(CompareHirzebruch[7].)Forexample