一类绝对值不等式恒成立的等价性探究_刘鸿春

２０１５年　第５４卷　第３期　　　　　　　　数学通报

４７

一类绝对值不等式恒成立的等价性探究

刘鸿春

（）江苏省高邮市第一中学　２２５６００

１　问题提出

在教学中，有学生提出下列同一类型的两个，他们用同一原理解问题（见下面例１和例２）题，可是一个结论正确，一个结论错误，到底是什么原因？

例１　已知不等式｜ａ－２ｘ｜＞ｘ－１对ｘ∈［］恒成立，则实数ａ的取值范围是０，２

学生的解答如下：

．

文的最后给出．

２　主要结果

，ｇ（引理１　设ｆ（为定义在区间Ａ上ｘ）ｘ）是连续函数，且满足ｆ（的函数，ｆ（ｘ）ｘ）＋ｇ（ｘ）ｘ）ｘ）≥０．则ｘ∈Ａ，ｆ（＜０或ｇ（＜０成立的充要条件为ｘ∈Ａ，ｆ（ｘ）ｘ）＜０或ｘ∈Ａ，ｇ（＜０．

证明　充分性是显然的，下面只证必要性．反证法：

假设结论不成立，即　ｘｘ≥０，ｆ（１∈Ａ，１）且　ｘｘ≥０．ｇ（２∈Ａ，２）

由于ｘ∈Ａ，ｆ（ｘ）ｘ）＜０或ｇ（＜０，故ｆ（ｘｘｘ＜０，从而ｆ（≤０．ｆ（２）１）２）

又由于ｆ（是区间Ａ上的连续函数，故ｘ）在区间Ａ上存在零点，即存在ｘｘ）ｆ（０∈Ａ，使得ｆ（ｘ＝０，又在区间Ａ上，ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）≥０，０）则ｇ（ｘｘ＝０且ｇ（ｘ≥０．而ｆ（≥０与ｘ∈０）０）０）

①②

ａ－２ｘ｜＞ｘ－１｜

）ａ－２ｘ＞ｘ－１或ａ－２ｘ＜－（ｘ－１

ａ＞３ｘ－１或ａ＜１＋ｘ．

］，）０，２ａ＞３ｘ－１ａ＞（３ｘ－１５；ｘ∈［ｍａｘ＝］，０，２ａ＜１＋ｘａ＜（１＋ｘ）１．ｘ∈［ｍｉｎ＝

综上：实数ａ的取值范围是ａ＞５或ａ＜１．

３

（例２若不等式｜２０１２南京三模）ａｘ－ｌｎｘ｜

都成立，则实数ａ取值范０，１］≥１对任意ｘ∈（

围是．

学生的解答如下：

３

］，｜０，１ａｘ－ｌｎｘ｜≥１　ｘ∈（

３

］，０，１ａｘ－ｌｎｘ≥１ｘ∈（

３

或ａｘ－ｌｎｘ≤－１．

Ａ，ｆ（ｘ）ｘ）＜０或ｇ（＜０矛盾，故假设不成立，

从而结论成立．

将引理１中ｆ（和ｇ（分别用－ｆ（和ｘ）ｘ）ｘ）代换，可得下面的结论：－ｇ（ｘ）

，ｇ（推论１　设ｆ（为定义在区间Ａ上ｘ）ｘ）的函数，ｆ（是连续函数，且满足ｆ（ｘ）ｘ）＋ｇ（ｘ）

下略．

分析　学生的例１解答错误．错因在于将，ａ＞３０，２］ｘ－１或ａ＜１＋ｘ和ｘ∈ｘ∈［

［］，，０，２ａ＞３ｘ－１或ｘ∈［０，２］ａ＜１＋ｘ混为一谈．它们并非是一回事．但例２用这个逻辑却能得到正确的结果．这是巧合？还是在一定的条件下可以等价？本文就对此进行一般性的探究．

］］评注　文［和文［都分析例１的错误，文１２［］分析了一个类似的问题的错解．但是他们都３

没有给出在有些问题中学生解题逻辑成立的一般性条件．文［虽然试图给出这个一般性条件，４］但所得的结论和证明都有错误，错误的分析在本

ｘ）ｘ）≤０．则ｘ∈Ａ，ｆ（＞０或ｇ（＞０成立的充

要条件为ｘ∈Ａ，ｆ（ｘ）ｘ）＞０或ｘ∈Ａ，ｇ（＞０．

，ｇ（引理２　设ｆ（为定义在区间Ａ上ｘ）ｘ）的函数，ｆ（是连续函数，且满足ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）ｘ）

＋ｇ（ｘ）ｘ）ｘ）＞０．则ｘ∈Ａ，ｆ（≤０或ｇ（≤０成立的充要条件为ｘ∈Ａ，ｆ（ｘ）≤０或ｘ∈

Ａ，ｇ（ｘ）≤０．

证明　充分性是显然的，下面只证必要性．

４８反证法：

假设结论不成立，

即　ｘｘ＞０，ｆ（１∈Ａ，１）

且　ｘｘ＞０．ｇ（２∈Ａ，２）

由于ｘ∈Ａ，ｆ（ｘ）ｘ）≤０或ｇ（≤０，故ｇ（ｘｘ≤０，ｆ（≤０．１）２），则记Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）Ｆ（ｘ＝ｆ（ｘ－ｇ（ｘ＞０，１）１）１）

数学通报　　　　　　　　２０１５年　第５４卷　第３期

，ｇ（定理２　设ｆ（为定义在区间Ａ上ｘ）ｘ）

的函数，ｆ（是连续函数，且满足ｇ（ｘ）ｘ）＞０．

①②

则ｘ∈Ａ，｜ｆ（成立的充要条件为ｘ）ｘ）｜≥ｇ（或ｘ∈Ａ，ｆ（ｘ）ｘ）ｘ）ｘ∈Ａ，ｆ（≥ｇ（≤－ｇ（ｘ）．　

证明　ｘ∈Ａ，｜ｆ（ｘ）ｘ）｜≥ｇ（

或ｆ（ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ∈Ａ，ｆ（≥ｇ（≤－ｇ（

ｘ）－ｆ（ｘ）ｘ）＋ｆ（ｘ）ｘ∈Ａ，ｇ（≤０或ｇ（≤０

在区间Ａ上，ｇ（ｘ）＞０则

（＊）

Ｆ（ｘ＝ｆ（ｘ－ｇ（ｘ＜０，２）２）２）

又因为Ｆ（在区间Ａ上ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）连续，

所以存在ｘ０∈Ａ，

使得Ｆ（ｘ＝ｆ（ｘ－ｇ（ｘ＝０，０）０）０）又在区间Ａ上，ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＞０，则ｆ（ｘｘ＞０，且ｇ（＞０，０）０）这与ｘ∈Ａ，ｆ（ｘ）ｘ）≤０或ｇ（≤０矛盾．故假设不成立，从而结论成立．

说明　将引理２中ｆ（和ｇ（分别用ｘ）ｘ）和－ｇ（代换，可得下列结论：－ｆ（ｘ）ｘ）

，ｇ（推论２　设ｆ（为定义在区间Ａ上ｘ）ｘ）的函数，ｆ（是连续函数，且满足ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）ｘ）

＋ｇ（ｘ）ｘ）ｘ）＜０．则ｘ∈Ａ，ｆ（≥０或ｇ（≥０成立的充要条件为ｘ∈Ａ，ｆ（ｘ）≥０或ｘ∈Ａ，ｇ（ｘ）≥０．，ｇ（定理１　设ｆ（为定义在区间Ａ上ｘ）ｘ）的函数，ｆ（是连续函数，且满足ｇ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｘ）成立的充要ｘ）ｘ）≥０．则ｘ∈Ａ，｜ｆ（｜＞ｇ（条件为ｘ∈Ａ，ｆ（或ｘ∈Ａ，ｆ（ｘ）ｘ）ｘ）＞ｇ（

［］］ｘ）＋ｆ（ｘ）＋［ｘ）－ｆ（ｘ）＞０，ｇ（ｇ（

］］又ｙ＝［在区间Ａｘ）＋ｆ（ｘ）－［ｘ）－ｆ（ｘ）ｇ（ｇ（上是连续函数，结合引理２可知

（ｘ）－ｆ（ｘ）＊）ｘ∈Ａ，ｇ（≤０或ｘ）＋ｆ（ｘ）ｘ∈Ａ，ｇ（≤０或ｘ）ｘ）ｘ∈Ａ，ｆ（≥ｇ（ｘ）ｘ）．ｘ∈Ａ，ｆ（≤－ｇ（从而定理得证．

３　应用举例

）若ｘ∈［），则ｘ－１＜０，例１解析　（１０，１故ａ∈Ｒ；

（）］，则ｘ－１≥０，若ｘ∈［２１，２）］又ｙ＝２在［上连续，ｘ＋（ｘ－１１，２所以由定理１可知，

］，｜１，２ａ－２ｘ｜＞ｘ－１　ｘ∈［

］，］，１，２ａ－２ｘ＞ｘ－１或ｘ∈［１，２ｘ∈［

ｘ）．＜－ｇ（

证明　ｘ∈Ａ，｜ｆ（ｘ）ｘ）｜＞ｇ（或ｆ（ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ∈Ａ，ｆ（＞ｇ（＜－ｇ（

ｘ）－ｆ（ｘ）ｘ）＋ｆ（ｘ）ｘ∈Ａ，ｇ（＜０或ｇ（＜０

（＊）

在区间Ａ上，ｇ（ｘ）≥０，则

［］］ｘ）＋ｆ（ｘ）＋［ｘ）－ｆ（ｘ）≥０，ｇ（ｇ（又ｆ（在区间Ａ上是连续函数，ｘ）＋ｇ（ｘ）结合引理１可知

（ｘ）－ｆ（ｘ）＊）ｘ∈Ａ，ｇ（＜０或

ｘ）＋ｆ（ｘ）ｘ∈Ａ，ｇ（＜０

或ｘ）ｘ）ｘ∈Ａ，ｆ（＞ｇ（ｘ）ｘ）．ｘ∈Ａ，ｆ（＜－ｇ（从而定理得证．

ａ－２ｘ＜１－ｘ　

］，］，１，２ａ＞３ｘ－１或ｘ∈［１，２ｘ∈［ａ＜１＋ｘ　

ａ＞５或ａ＜２．

）（）综合（可知，１２ａ的取值范围是ａ＞５或ａ＜２．

３

例２解析　已知ｙ＝上连ａｘ－ｌｎｘ在（０，１］３

，｜ａ续，根据定理２可知：ｘ∈（０，１］ｘ－３

，ｌｎｘ｜≥１ｘ∈（０，１］ａｘ－ｌｎｘ≥１或ｘ∈

３

（］，０，１ａｘ－ｌｎｘ≤－１，下略．

］中的结论３的分析４　文［４

］文［中的结论３　若ｆ（对任意ｘ４ｘ）ｘ）≥ｇ（］均成立，则不等式ａ＞ｆ（或ａ＜ｇ（ｂ，ｃｘ）ｘ）∈［

在ｘ∈［恒成立时，ａ的取值范围为ａ＞ｂ，ｃ］］）ｘ）ｘ）ｘ∈［ｂ，ｃ．＜ｇ（ｆ（ｍａｘ或ａｍｉｎ（

（下转第６２页）

６２

程序运行结果列表如下：

序号

１　２　３　４　５　６　７　８　９　１０　１１　１２　１３　１４　１５　１６　１７　１８　１９　

次数Ｎ１００　２００　５００　１０００　２０００　５０００　１００００　２００００　５００００　１０００００　２０００００　５０００００　１００００００　２００００００　５００００００　１０００００００　２０００００００　５０００００００　１００００００００　

０．２６０．２３０．２３２０．２５４０．２５１０．２６１８０．２５０６０．２５７８０．２５２１２０．２５５７８０．２５５００５０．２５４２７２０．２５４６３

频率Ｐ

数学通报　　　　　　　　２０１５年　第５４卷　第３期

Ｓ阴影这里Ｍ）＝＝＝，　　据理论公式Ｐ（

Ｓ２ａπａπ

理论值是０ｌ＝２，ａ＝５，．２５４６４７９０８．随着试验次数增加，频率值稳定在理论值附近．

结语　对于如上述几例这类问题，当我们需要给出一种严格的几何概率模型推求过程或者问没有直接的几何量度时，可以采用这种题复杂、

“通过实数坐标建立与基本事件的一一对应关系，在坐标系中用图形表示样本空间和随机事件从而的方用构造出的几何量度和几何概型公式求解”法来求解；基本事件用ｎ维实数坐标表示，可以编写关于坐标参量的程序进行计算机模拟试验进行结果验证，其中宜满足ｎ≤３，当ｎ＞３时在三维空不能用直观的几何量度进行计算，但间不能表示，

是仍可进行计算机模拟试验，当试验次数足够大时可用随机事件发生的频率值精确地估计概率值．

参考文献

０．２５４３７４５０．２５４７８０２０．２５４７２９５０．２５４６３２３０．２５４６４３５０．２５４６４２４

普通高中课程标准实验教科书数学１　山东省教学研究室编著．

人教Ａ版）必修３［山东教育出版社，基础训练（Ｍ］．济南：２００９：８７

］蒲丰投针问题的推广及其应用［阜阳师范学院学Ｊ．２　张德然．

，报（自然科学版）１９９７，１：１７—１９

［夏乐天．概率论与数理统计（第三版）河海３　印凡成，Ｍ］．南京：

大学出版社，２０１２：１４—１６

（上接第４８页）

分析　该结论错误，反例构造如图１，在［１，］上，函数ｆ（的图象如实线所示，图象如５ｘ）ｘ）ｇ（

］虚线所示，对任意ｘ∈［均成立，ｘ）ｘ）１，５≥ｇ（ｆ（但当不等式ａ＞ｆ（或ａ＜ｇ（在ｘ∈［恒ｘ）ｘ）１，５］成立时，ａ的取值范围并非是ａ＞ｆ（ｘ）ｍａｘ或ａ＜］）理由如下，ｘ）ｘ∈［１，５．ｇ（ｍｉｎ（

参考文献

］数学审题审什么，怎么审［中学数学教学参考（上１　罗增儒．Ｊ．

，旬）２０１２，４

］不要被恒成立问题中的“或”迷惑［中学数学，２　黄桂君．Ｊ．

２００９，６

］一类含绝对值不等式的解法探究［中学数学教学Ｊ．３　马洪超．

，参考（上旬）２０１２，６

——一类恒成立问题含绝对值不等式的“转化”错了吗—４　苏劼．

］错误之剖析［数学通报，Ｊ．２０１３，１

由图可知：或０．对ｘ∈０．５＞ｆ（ｘ）５＜ｇ（ｘ）［］恒成立，但０中的结论３给１，５．５并不在文［４］

出的ａ的取值范围中．因此文［中的结论３错４］误．错误的原因是默认了ｆ（的连续性，且以图ｘ）代证．

图１