暑期华杯赛暑期赛前培训资料：(2)教师版

2010年暑假华杯赛赛前培训经典例题分析（2）

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指导教师：陟乃赋

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一、准确填空：

1、将1999表示为两个质数之和：1999＝□+□，在□中填入质数，共有 种表示方法?

解：由奇偶数的性质可知，1999是奇数，因此1999要能表示成两个质数之知，其中必定有一个是偶数.然而，既是偶数又是质数的自然数只有一个，就是2，没有其他可能.因此，另一个数是1999-2＝1997，而1997又恰好是质数，满足题目要求. 答：1999＝2+1997，只有一种表示方法.

评注：2是惟一的一个既是偶数又是质数的自然数，它在质数中的地位很特别，其他的质数都是奇数.了解这一点是解答本题的关键.

同学们都知道(记住)100以内的质数有哪些，但对于三位数、四位数中的质数可能就不清楚了.例如，1999和1997都是质数，那么如何来判定它们的确是质数呢?判定质数最基本的方法是“筛法”，我们不仔细叙述了.对于1997(或1999)，取a为使得a≥1997的最小自然数， 2

因为44＝1936＜1997＜45＝2025，即a=45.

1997如果不是质数，那么它可以分解为两个或两个以上的质因子的乘积，因此其中至少有一个质因子是小于45(不然的话，所有质因子的乘积必定大于1997)，这样一来，只要判断在小于45的质数中有没有是1997的因子的，这只要用试除法即可完成.对2，3，5，11，一眼即可看出，其余的7，13，17，19，23，29，31，37，41，43逐一试除，可知无一能整除1997.

1997为质数，对1999也一样.

1997和1999都是质数，且1999-1997＝2，像这种相差为2的两个质数，称为“孪生质数”.这种数有很多，例如(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，(41，43)，……，(1997，1999)，还可举出更大的一些，如(4967，4969).那么，这种“孪生质数”是否有无穷多个(对)呢?即是否可以无限地数下去呢?我们已经知道，质数是有无穷多个的，没有最大的一个!人们猜测，“孪生质数”也22

有无穷多个，这就是著名的“孪生质数猜想”，它和“哥德巴赫猜想”齐名，后者即是“任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”.孪生素数猜想也是很难的，至今还没有被数学家证明.这两个猜想之间是有联系的，实际上，它们是“等价的”.

2、澳门是世界上人口密度最大的地区之一，它由一个半岛和两个小岛组成.已知澳门的人口为43万人，其中90%居住在半岛上，半岛的面积为7平方千米，问：半岛上平均每平方千米有 万人?(取两位小数)

解：43×90%÷7＝38.7÷7＝5.53(万).

答：澳门半岛上平均每平方千米有5.53万人.

二、谨慎推理：

3、图7-1是由9个等边三角形拼成的六边形.已知中间最小的等边三角形的边长是1，问：这个六边形的周长是多少?

解：将图中正三角形编号1，2，?，

9

看出各三角形边长之间的关系，从而可以建立方程来

求解.中间的△9的边长为1.设最大的正三角形△1的

边长为x，则△2和△3的边长都是x-1，△4和△5的

边长都是x-2，△6、△7、△8的边长都是x-3，而△6

和△8的边长之和等于△1的边长，故得方程：

2×(x-3)=x.

所以 2x-6=x，解得x=6.

所以这个六边形的周长是

6+2×(6-1)+2×(6-2)+2×(6-3)＝6+10+8+6＝30.

答：所求六边形的周长是30. 图7-1

评注：这个题还可以改为“如果最小的正三角形的面积是1，求这个六边形的面积”.

用划分成小三角形的方法可以知道：边长为2的正三角形可以划分为4个边长为1的正三角形，边长为3的正三角形可以划分为9个边长为1的正三角形，……边长为n的正三角形可以划分为n2个边长为1的正三角形(n=2,3,4,…).因此，正三角形A的边长是正三角形B的边长的n

倍，

则正三角形A的面积是正三角形B的面积的n倍.

由原题的解答可知：△1，△2，△3，△4，△5，△6，△7，△8的边长各是△9的边长的6，5，5，4，4，3，3，3倍，因此它们的面积分别是△9的面积的6,5,5,4,4,3,3,3倍，已知△9的面积为1，则九个正三角形的面积之和为： 222222222

62?2?52?2?42?3?32?1?36?50?32?27?146.

故该六边形的面积是146.

4、如图7-2所示，一个正六边形的苗圃，用平行于苗圃边缘的直线把它分成许多相等的正三角形，在三角形的顶点上都栽种树苗，已知苗圃的最外边一圈栽有90棵，问：该苗圃中共栽树苗多少棵?

解：苗圃中的树苗可以看成是按正六边形的边界

由外向里一圈一圈地栽种的，每相邻两圈相差6

棵，已知最外圈种有90＝6×15棵，则第2圈有

6×14棵，第3圈有6×13棵，??，第15圈有

6×1＝6棵，最里面(正六边形中心处)有1棵.

因此，苗圃中一共种树苗有

6×15+6×14+6×13+?+6×1+1

＝6×(1+2+3?+13+14+15)+1

＝6×(1+15)×15÷2+1＝6×120+1

＝721(棵)

答：苗圃中共栽树苗721棵.

评注：解此题的关键是要看出：相邻两圈相差6棵，不要忘记，中间还种有1棵.要计算

90+(90-6)+(90-2×6)+(90-3×6)+…+6

时也不应将每圈的棵数(即括号中的数)具体算出再相加，那样太繁，易出错，而是应该像上面解答中那样化为求1+2+3+…+13+14+15

便能迅速求出：1+2+3+4+5…+100的结果为5050

图7-2

.德国大数学家高斯在8岁时(记为S)的2倍，

所以2S＝101×100.

所以S＝101×50＝5050.

这是因为在和1+2+3+…+98+99+100中，每相邻两个数的差都等于1，于是就有了以下性质：第1个数(1)与倒数第1个数(100)之和，第2个数(2)与倒数第2个数(99)之和，……都相等，等于101，因此立即可算出结果.像这样每相邻两个数的差都相等的一列数就叫做“等差数列”.本题中各圈树苗数：90，84，78，…12，6(或6，12，18，…84，90)就是一个等差数列.它也有上面所说的性质，也可以用同样的方法去求和，实际上也就是上面解答中的算法.

三、急中生智：

5、甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999，已知甲校学生人数的2倍、乙校学生人数减3、丙校学生人数加4都是相等的，问：甲、乙、丙各校学生人数是多少? 解：设甲、乙、丙三校学生人数分别为x,y,z.

由已知条件可得 x+y+z=1999，

2x=y-3=z+4

所以 x+(y-3)+(z+4)=x+y+z+1=1999+1=2000

所以 x+2x+2x=2000,5x=2000

解得 x=400

y=2x+3=400×2+3＝803

z=2x-4=400×2-4＝796

答：甲校有400人，乙校有803人，丙校有796人.

评注：本题不用列方程，用算术的方法求解也是一样的，思路相同.即便是列出了方程，也要考虑用最简单的方法迅速求解，不要拘泥于一般的解法.

6、小明爷爷的年龄是一个两位数，将此两位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道他们年龄之差是小明年龄的4倍，求小明的年龄.

解：设爷爷的年龄为10x+y，其中x为十位数字，y为个位数字，显然它们不能为0，因此x,y取从1到9的整数.于是爸爸的年龄为10y+x，因此，

(10x+y)-(10y+x)=9(x-y)＞0

由此得 x＞y，自然x-y≤8

即有 0＜x-y≤8

设小明年龄为z，由已知条件可得方程

9(x-y)=4z

因为最大公约数(9，4)＝1,所以x-y必须是4的倍数.由此得到x-y=4或x-y＝8.

(1) 当x-y=8时，必定有x=9,y=1,z=18此时爷爷91岁，爸爸19岁，小明18岁，这是不可能的!舍去这组解.

(2) 当x-y=4时，由9×4＝4z得z=9.

此时，例如取x=7，y=3，则得到爷爷73岁，爸爸37岁，小明9岁，这是合理的. 答：小明9岁.

评注：这是一道有实际意义的应用题，所以不但计算要正确，而且对通过数学推理算出的结果，还应该判断它是否合理，是否与实际情况符合，以决定取舍.解答中，第一组即x-y=8的情况必须排除，因为不符合实际.第二组即x-y=4的情况，爷爷和爸爸的年龄可以有几种可能，但是小明的年龄只有一个，即9岁，题目也只是求小明的年龄.而且在爷爷、爸爸和小明的年龄中至少有一组是合理的，因此，答案小明9岁是正确的.

四、规律探求：

7、用10块长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体积木堆拼成一个长方体，问：这个长方体的表面积最小是多少?

解： 用这10块相同的长方体积木堆拼成一个长方体时，

有两种方式，一种方式是“10×1”，即10块排成一排，

此时重合在一起的面共有2×9＝18个；另一种方式是“5

×2”，即5块一排，排成两排，再将它们横拼在一起，

此时重合的面有2×4×2+2×5＝26个.当然，每一种方

式依重合面的不同还有若干种具体的拼法.

面积较大的表面重合在一起，则长方体的表面积最小。

第二种即“5×2” 方式中：选择面积较大的表面重合在一起，则小积木块贴合部分的表面积是：

16×5×7＋10×3×7＝560＋210＝770（平方厘米）。

（平方厘米面积较大的表面重合在一起，则长方体的表面积最小。

第一种即“10×1”方式中：选择面积较大的表面重合在一起，则小积木块贴合“5×2”方式 图7-3