中学数学竞赛讲座及练习第35讲归纳与发现
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中学数学竞赛讲座及练习第35讲归纳与发现
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第三十五讲 归纳与发现
归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．
例1 如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，?这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？
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分析与解
第一层有点数：1；
第二层有点数：1×6；
第三层有点数：2×6；
第四层有点数：3×6；
??
第n层有点数：(n-1)×6.
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因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为
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例2 在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：
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(1)这n
(2)这n
分析与解 中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)18．1．
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由表18．1易知
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S2-S1=2，
S3-S2＝3，
S4-S3＝4，
S5-S4＝5，
??
由此，不难推测
Sn-Sn-1＝n．
把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到
Sn-S1＝2＋3＋4 因为S1=2，所以
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对Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明． 下面
因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．
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(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．
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由表18．2容易发现
a1＝1，
a2-a1＝1，
a3-a2＝
a434＝4，
??
an-1-an-2＝n-2，
an-an-1＝n-1．
n个式子相加
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注意 请读者说明an=an-1＋(n-1)的正确性．
例3 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？
分析与解 我们先来研究一些特殊情况：
(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1
(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18
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1+2=3．
(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．
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