中学数学竞赛讲座及练习第34讲集合与简易逻辑
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中学数学竞赛讲座及练习第34讲集合与简易逻辑
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第三十四讲* 集合与简易逻辑
我们考察某些事物的时候,常常要考虑由这些事物组成的群体,我们把这个群体叫作集合.组成某个集合的事物,叫作这个集合的元素.通常用大写字母A,B,C?等表示集合,小写字母a,b,c,?等表示元素.如果m是集合A的元素,就说m属于A,记作m∈A.如果n
(i)你的家庭中所有成员组成一个集合,你和你的家庭中的其他各个成员都是这个集合中的元素.
(ii)自然数全体1,2,3,?组成一个集合( (iii)如果A,B是平面上两个不同的点,那么A,B合,这条直线上每个点都是这个集合的元素. 总之,集合是数学中一个最基本、合的基本知识.
1.集合的描述方法
(1)列举法
一个最简单的描述方法就是把它所含的每个元素都列举出来,用列举法表示集合,通常是将这个集合的每个元素一一填写在{}中,每个元素之间用逗点隔开.填写集合的元素时,与元素的排列次序无关.例如:
(i)由a,b,c,d,e五个小写字母组成的集合A,记作
A={a,b,c,d,e},
也可记作
A={b,a,c,d,e).
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(ii)由小于40的质数组成的集合B,记作
B={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37}.
(iii)平方等于1的有理数集合C,记作
C={1,-1}.
(iv)三条直线l1,l2,l3组成的集合D,记作
D={l1,l2,l3}.
(2)特征性质描述法
所谓特征性质是指集合中元素的特征性质,(ii) 例如,集合={1,-1
{x│x2=1},
或者
A={x││x│=1}.
全体偶数组成的集合B,用特征性质描述法表示就是
B={x│x是能被2整除的整数},
或者
B={2n│n是整数}.
全体奇数组成的集合C,用特征性质描述法表示就是
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C={x│x是不能被2整除的整数},
或者
C={2n+1│n是整数},
C={2n-1│n是整数}.
一般地,用特征性质α表示集合A的形式是:
A={x│x具有性质α}.
2.集合之间的关系和运算
(1)包含与子集
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(i)你班上的同学的集合和你学校的同学的集合之间的关系是:前者是后者的子集,后者包含前者.
(ii)设集合
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例1 设A={1,2,3,4},试写出A的所有子集.
{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,42,3},{1,2,4},{2,3,4},{1,3,4},{1,2,3,4 (2)交集运算
对于给定的集合A,B,A与B的交集.我们用A∩B表示A,B的交集(图
(i)如图2-89,设
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A={x│x是12的正因数},
B={x│5<x<13,x是整数},
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则
A={1,2,3,4,6,12},B={6,7,8,9,10,11,12}.
所以 A∩B={6,12}.
(ii)设l1,l2是平面上两条不同的直线,则l1∩l2就是由它们的交点组成的集合. 如果l1与l2相交于一点P,则l1∩l2={P}(图2-90);
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(3)并集运算
对于给定的两个集合A,BA,B的并集,我们用符号A∪B表示(图2-92).例如
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(i)设M,N分别表示你班上男生、女生的集合,那么M∪N就是你班上同学的集合. (ii)设
A={1,3,5,7,9},B={2,3,4,5,6},
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