动量和能量讲义

第三讲 典型例题解析

教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》，知识出版社，2002年8月第一版。

例题选讲针对“教材”第五、第六章的部分例题和习题。

第五部分 动量和能量

第一讲 基本知识介绍

一、冲量和动量

1、冲力（F—t图象特征）→ 冲量。冲量定义、物理意义

冲量在F—t图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F对t的平均作用力）

2、动量的定义

动量矢量性与运算

二、动量定理

1、定理的基本形式与表达

2、分方向的表达式：ΣIx =ΔPx ，ΣIy =ΔPy …

3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。即

三、动量守恒定律

1、定律、矢量性 P=ΣF外 t

a、原始条件与等效

b、近似条件

c、某个方向上满足a或b，可在此方向应用动量守恒定律

四、功和能

1、功的定义、标量性，功在F—S图象中的意义

2、功率，定义求法和推论求法

3、能的概念、能的转化和守恒定律

4、功的求法

a、恒力的功：W = FScosα= FSF = FS S

b、变力的功：基本原则——过程分割与代数累积；利用F—S图象（或先寻求F对S的平均作用力）

c、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量转化的量度”这一要点

五、动能、动能定理

1、动能（平动动能）

2、动能定理

a、ΣW的两种理解

b、动能定理的广泛适用性

六、机械能守恒

1、势能

a、保守力与耗散力（非保守力）→ 势能（定义：ΔEp = －W保）

b、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达

3、机械能守恒定律

a、定律内容

b、条件与拓展条件（注意系统划分）

c、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和。

七、碰撞与恢复系数

1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类）

碰撞的基本特征：a、动量守恒；b、位置不超越；c、动能不膨胀。

2、三种典型的碰撞

a、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失。满足——

m1v10 + m2v20 = m1v1 + m2v2

111122 m1v10 + m2v2 = m + m2v2 1v12202222

解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：

v1 = (m1 m2)v10 2v20(m2 m1)v20 2v10， v2 = m1 m2m2 m1

对于结果的讨论：

①当m1 = m2 时，v1 = v20 ，v2 = v10 ，称为“交换速度”；

②当m1 ＜＜ m2 ，且v20 = 0时，v1 ≈ －v10 ，v2 ≈ 0 ，小物碰大物，

原速率返回；

③当m1 ＞＞ m2 ，且v20 = 0时，v1 ≈ v10 ，v2 ≈ 2v10 ，

b、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介），

只满足动量守恒定律

c、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物

体连为一个整体，故有

v1 = v2 = m1v10 m2v20 m1 m2

3、恢复系数：碰后分离速度（v2 － v1）与碰前接近速度（v10 － v20）的比值，即： e = v2 v1 。根据“碰撞的基本特征”，0 ≤ e ≤ 1 。 v10 v20

当e = 0 ，碰撞为完全非弹性；

当0 ＜ e ＜ 1 ，碰撞为非弹性；

当e = 1 ，碰撞为弹性。

八、“广义碰撞”——物体的相互作用

1、当物体之间的相互作用时间不是很短，作用不是很强烈，但系统动量仍然守恒时，碰撞的部分规律仍然适用，但已不符合“碰撞的基本特征”（如：位置可能超越、机械能可能膨胀）。此时，碰撞中“不合题意”的解可能已经有意义，如弹性碰撞中v1 = v10 ，v2 = v20的解。

2、物体之间有相对滑动时，机械能损失的重要定势：－ΔE = ΔE内 = f滑·S相 ，其中S相指相对路程。

第二讲 重要模型与专题

一、动量定理还是动能定理？

物理情形：太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略，但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布垃

圾n颗，每颗的平均质量为m ，垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速率v飞行，垂直速度方向的横截面积为S ，与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力F 。

模型分析：太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续，如何正确选取研究对象，是本题的前提。建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异。物理过程需要人为截取，对象是太空垃圾。

先用动量定理推论解题。

取一段时间Δt ，在这段时间内，飞船要穿过体积ΔV = S·vΔt的空间，遭遇nΔV颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP ，其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力。

F = M v Pm n V vm nSv t v = = = = nmSv2 t t t t

如果用动能定理，能不能解题呢？

同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进x = vΔt的位移，引擎推力F须做功W = Fx ，它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量，而飞船的ΔEk为零，所以： 1ΔMv2 2

1即：FvΔt = （n m S·vΔt）v2 2

1得到：F = nmSv2 2W =

两个结果不一致，不可能都是正确的。分析动

能定理的解题，我们不能发现，垃圾与飞船的碰撞

是完全非弹性的，需要消耗大量的机械能，因此，