考点41 双曲线

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　　一、选择题

　　xy2

　　?2?121.（2012浙江高考理科Ｔ8）如图，F1,F2分别是双曲线C：ab（a,b2

　　＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q

　　两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率

　　是( )

　　(A)3 (B)2

　　【解题指南】关键是通过中垂线的性质与坐标间的关系建立a,b,c的等式.

　　【解析】选B．由可解得x?acbcacbc,y?Q(,)c?ac?a，即c?ac?a.

　　由可解得x??acbcacbc,y?P(?,)c?ac?a，即c?ac?a.

　　a2cbc2

　　N(2,2)22PQ∴的中点c?ac?a

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　　bc2cb32kMN???1e???e?3223c2，

　　b，．而M(3c,0)∴，即4ac?3c整理得2c?3ac，即解得

　　2.（2012湖南高考文科Ｔ6）与（2012湖南高考理科Ｔ5）相同

　　x2y2

　　已知双曲线C：2-2=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的ba方程为（ ） x2y2x2y2x2y2x2y2

　　(A)-=1 (B)-=1 (C)-=1 (D)-=1 20520805208020

　　【解题指南】根据双曲线的性质，由焦距为10可以求出c=5，再将P（2,1）代入渐近线求出方程中的参数.

　　bx【解析】选A. 由焦距为10，知2c=10，c=5.将P（2,1）代入y=a得a=2b.

　　x2y2

　　-=1a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20，所以方程为205.

　　x2y2

　　?2?12y4b3.（2012福建高考理科Ｔ8）已知双曲线的右焦点与抛物线?12x

　　的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）

　　(B) (C)3 (D)5

　　【解题指南】利用抛物线的标准形式来求解焦点，可将一次项系数直接除4获得数值；对于双曲线的标准方程，只要注意到c最大，同时也满足一个平方关系式即可，同时要熟识渐近线的方程，焦点在x轴上时，方程是y??bxa.

　　222y【解析】选A.?12x的焦点(3,0)，由题意知，4?b?9，b?5，双曲线的焦点

　　b? x2y2

　　??12a54.（2012福建高考文科Ｔ5）已知双曲线的右焦点为(3,0)，则该双

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　　曲线的离心率等于（ ）

　　(A)14

　　(B)4 3 (C)2 4(D)3

　　【解题指南】对于双曲线的标准方程，只需注意到c最大，而且也满足一个平方关系式即可，同时还要明确离心率e?c

　　a.

　　e?c3?a2. 2【解析】选C . 由题意知a?5?9，解得a?2，

　　5.（2012新课标全国高考文科Ｔ10）与（2012新课标全国高考理科Ｔ8）相同

　　2yx等轴双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，C与抛物线?16x的准线交于A，B

　　两点，AB?，则C的实轴长为（ ）

　　【解题指南】注意到双曲线为等轴双曲线，可先设出曲线C的方程，然后利用AB的长及抛物线的准线方程，得到A、B两点的坐标，代入所设的曲线C方程，可求得曲线C的方程，最后求得实轴长.

　　x2y2

　　?2?12【解析】选C.设双曲线的方程为aa（a0），抛物线的准线为x??

　　4，且

　　AB?

　　，故可得A?4,,B?4,??

　　?，将点A坐标代入双曲线方程得a2?4，故a?2，故实轴长为4.

　　二、填空题

　　6.（2012辽宁高考文科Ｔ15）已知双曲线x2 ? y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，

　　点P为双曲线上一点，若P F1⊥PF2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为

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　　【解题指南】利用双曲线定义得PF1?PF2

　　得2PF1?PF2?F1F2?(2c)222?2a,利用已知条件PF1?PF2，由勾股定理，即可解得PF1,PF2.

　　22x?y?

　　1知a?b?1,c?.由双曲线方程【解析】不妨设PF1?PF2

　　由双曲线定义得PF1?PF2

　　由已知条件PF1?PF2?2a?2, 2PF1?PF2?F1F2?(2c)?8222及勾股定理得，

　　上述两式联立，解得PF1

　　【答案】?1,PF2

　　1，故PF1?PF2?7.（2012湖北高考理科Ｔ14

　　）如图，双曲线

　　的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，

　　B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形

　　F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则

　　（1）双曲线的离心率e=______；

　　（2）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值S1=__________. S2

　　【解题指南】本题主要考查双曲线的基本性质,解答本题（1）可利用?OF2B2的面积求解;本题（2）中可将所求面积的比值转化成离心率的关系.

　　【解析】（1）

　　e?. 222化简得: a?ac?c?0,即e?e?1?0.又e?1,

　　则

　　（2）由题意知: S1=2bc,在?OF2B2中连接OA，则A F2=b, 矩形ABCD边长 abAD=2c a2AB=2ca3b，S2=42，则c- 4 -

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　　【答案】（1

　　） （2

　　）

　　x2y2

　　?2?1xOy8.（2012江苏高考Ｔ8）在平面直角坐标系中，若双曲线mm?4的

　　m的值为 .

　　【解题指南】应从焦点的位置入手，确定长半轴长.

　　e??【解析】由题意，双曲线的焦点在x

　　轴上，所以

　　【答案】2 m?2.

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