2014年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及详细解析(Word版)答案

　　2014年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及详细解析(Word版)

　　2014年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）

　　参考答案及评分标准

　　一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

　　1. 若正数a,b满足2?log2a?3?log3b?log6(a?b)，则

　　答案：108.

　　解：设2?log2a?3?log3b?log6(a?b)?k，则a?2k?211?的值为_________ abk?3，b?3，a?b?6，从k11a?b6k

　　?k?2k?3?22?33?108。 而??abab2?3

　　2. 设集合?b|1?a?b?2}中的最大元素与最小元素分别为M，m，则M?m的值为___________ 答案：5?2。

　　解：由1?a?b?2知，3a33?b??2?5，当a?1，b?2时，得最大元素M?5，又a1

　　33?b??a?23，当a?b?时，得最小元素m?23。因此，M?m?5?2。 aa

　　3. 若函数f(x)?x2?a|x?1|在[0,??)上单调递增，则实数a的取值范围是________ 答案：[?2,0]

　　解：在[1,??)上，f(x)?x?ax?a单调递增，等价于?2a?1，即a??2。在[0,1]上，2

　　f(x)?x2?ax?a单调递增，等价于

　　4. 数列{an}满足a1?2，an?1?

　　答案：a?0，即a?0，因此实数a的取值范围是[?2,0] 2a20142(n?2)an(n?N*)，则?_____ n?1a1?a2?...?a20132015。 2013

　　2(n?1)2(n?1)2nan?1??an?2???? nnn?1

　　2(n?1)2n2?3???????a1?2n?1(n?1) nn?12解：由题设an?

　　记数列{an}的前n项和为Sn，则

　　Sn?2?2?3?22?4?????2n?1(n?1)

　　所以2Sn?2?2?2?3?2?4?????2(n?1)

　　1 23n

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　　将上面两式相减，得Sn?2n(n?1)?(2?2?22?????2n?1)?2nn a201422013?20152015故 ?2013?a1?a2?...?a20132?20132013

　　5. 正四棱锥P—ABCD中，侧面是边长为1的正三角形，M，

　　N分别是边AB，BC的中点，则异面直线MN与PC之间

　　的距离是____________ 答案：2 4

　　解：设底面对角线AC，BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，交MN于点H。 由于PO是底面的垂线，故PO⊥CH，又AC⊥CH，所以CH⊥平面POC，故CH⊥PC。 因此CH是直线MN与PC的公垂线段，又CH?22，故异面直线MN与PC之CN?24

　　间的距离是2。 4

　　6. 设椭圆?的两个焦点是F1,F2，过点F1的直线与?交于点P,Q。若|PF2|?|F1F2|，且

　　3|PF1|?4|QF1|。则椭圆?的短轴与长轴的比值为_______ 答案：2 7

　　解：不妨设|PF1|?4，|QF1|?3。记椭圆?的长轴，短轴的长

　　度分别为2a，2b，焦距为2c，则|PF2|?|F1F2|?2c，且由

　　椭圆的定义知，

　　2a?|QF1|?|QF2|?|PF1|?|PF2|?2c?4

　　于是|QF2|?|PF1|?|PF2|?|QF1|?2c?1

　　设H为线段PF1H|?2,|QH|?5，且有F2H?PF1。由勾股定理知， 1的中点，则|F

　　|QF2|2?|QH|2?|F2H|2?|F1F2|2?|F1H|2

　　2222即(2c?1)?5?(2c)?2，解得c?5，进而a?7,b?26，因此椭圆?的短轴与长轴的比值为b

　　26? a7

　　2

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　　7. 设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I，

　　若点P满足PI=1，则△APB与△APC的面积之比的

　　最大值为________ 答案：3? 2

　　解：由PI=1知点P在以I为圆心的单位圆K上。

　　设?BAP??，在圆K上取一点P0，使得?取到最大值?0，此时P0应落在?IAC内，且

　　K的切点。由于0????0?是AP0与圆?

　　3，故

　　sin?0S?APBsin????S?APC1AP?ACsin(??)sin(??)sin(??0)? )23336

　　?其中， ??0???IAP0 6

　　IP?11?，于是cot ?，所以 由?AP0I?知，sin ?0?2AI2r41AP?ABsin?? ) ① ??

　　?1sin(? )cos ??sin(? )1cos ?62sin cot ??33?5???② 2cot ??3sin 2

　　根据①、②可知，当P?P0时，S?APB3?的最大值为 2S?APC

　　1的概率在每对点之间连一条边，任意两对28.设A，B，C，D是空间四个不共面的点，以

　　点之间是否连边是相互独立的，则A，B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为__________ 答案：3 4

　　6解：每对点之间是否连边有2种可能，共有2?64种情况。考虑其中A，B可用折线连接

　　的情况数。

　　（1） 有AB边：共种2?32情况。

　　（2） 无AB边，但有CD边：此时A，B可用折线连接当且仅当A与C，D中至少

　　一点相连，且B与C，D中至少一点相连，这样的情况数为(2?1)(2?1)?9。

　　（3） 无AB边，也无CD边：此时AC，CB相连有2种情况，AD，DB相连也有222522

　　种情况，但其中AC，CB，AD，DB均相连的情况重复计了一次，故A，B

　　可

　　3

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　　用折线连接的情况数为2?2?1?7。

　　以上三类情况数的总和为32+9+7=48，故A，B可用折线连接的概率为22483?。 644

　　二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

　　9.（本题满分16分）平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上的一个动点，满足条件：过P可作抛物线y2?4x的两条切线，两切点连线lP与PO垂直。

　　设直线lP与直线PO，x轴的交点分别为Q，R。

　　（1） 证明R是一个定点；

　　（2） 求|PQ|的最小值。 |QR|

　　解：（1）设P点的坐标为(a,b)(b?0)，易知a?0。记两切点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则PA，PB的方程分别为

　　yy1?2(x?x1) ①

　　yy2?2(x?x2) ②

　　而点P的坐标(a,b)同时满足①，②。故A，B的坐标均满足方程

　　by?2(x?a) ③(x1,y1)，(x2,y2)

　　故③就是直线AB的方程。

　　直线PO与AB的斜率分别为

　　4分 从而③即为y?b2b2与，由PO?AB知，???1，故a??2。 ………abab2(x?2)，故AB与x轴的交点R是定点（2，0）。 …………8分 b

　　（2）因为a??2，故直线PO的斜率k1??

　　则?为锐角，且 bbPR??，，直线PR的斜率k2??。设?O24

　　bb1?(?)(?)1?k1k2|PQ|18?b22b2??||?||???22 bb|QR|tan?k1?k22|b|2|b|??24

　　当b??22时，|PQ|的最小值为22。 ……………………16分

　　|QR|

　　4

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　　10.（本题满分20分）数列{an}满足a1?

　　使得sina1?sina2?…?sinam??，an?1?arctan(sec求正整数m，an)(n?N*)。61。 100

　　解：由已知条件可知，对任意正整数n，an?1?(?由于secan?0，故an?1?(0,??,)，且tanan?1?secan ① 22?

　　2)。由①得，tan2an?1?sec2an?1?tan2an，故

　　13n?2? 33tan2an?n?1?tan2a1?n?1?

　　即tanan?

　　因此， 3n?2。 …………………………10分 3

　　tanamtana1tana2 ??…?seca1seca2secam

　　tanamtana1tana2（利用①） ??…?tana2tana3tanam?1sina1?sina2?…?sinam??

　　?tana11 ?tanam?13m?1

　　11，得m?3333。 …………………20分 ?3m?1100由

　　11.（本题满分20分）确定所有的复数?，使得对任意复数z1,z2(|z1|,|z2|?1,z1?z2)，均有(z1??)??1?(z2??)??2　。 解：记f?(z)?(z??)2??，则 22

　　f?(z1)?f?(z2)?(z1??)2??1?(z2??)2?2 ?(z1?z2?2?)(z1?z2)??(1?2) ① 假如存在复数z1、z2(|z1|、|z2|?1，z1?z2)，使得f?(z1)?f?(z2)，则由式①知 |?(1?2)|?|?(z1?z2?2?)(z1?z2)| 注意到，|1?2|?|z1?z2|?|z1?z2|?0，

　　故|?|?|z1?z2?2?|?2|?|?|z1|?|z2|?2|?|?2 5

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　　即|?|?2。…………………………10分

　　另一方面，对任意满足|?|?2的复数?，令z1???

　　2??i，z2???

　　2??i，其中

　　0???1?|?|??，则z1?z2，而|???i|?|?|?|?|?1，故|z1|，|z2|?1，此时将 222

　　z1?z2???，z1?z2?2?i，1?2?2i??2?i

　　代入①可得，f?(z1)?f?(z2)???2?i??(?2?i)?0，即f?(z1)?f?(z2)。 综上所述，符合要求的?的值为{?|??C,|?|?2} ……………………20分

　　6