2013年高等数学方法与应用I考试试题答案

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2013年高等数学方法与应用I考试试题答案

　　北京航空航天大学

　　2013-2014学年第一学期期末

　　考试课程时间学号姓名成绩考试说明：以下七题，任选五题，每题各20分，满分100分。请将答案写在答

　　题纸上。

　　1. 叙述闭区间套的定义, 并利用闭区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.

　　2. 已知 f(x?h)?f(x?h)?2f(x)?f??(x)?a2h2?a4h4??, 2h

　　试由此近似公式出发再次外推得到误差是h4阶的f''(x)的近似公式.

　　3. 若函数f(x),g(x)?C2[a,b],且g''(x)?0,f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0. 证明：（1）在开区间(a,b)内, g(x)?0.

　　（2）至少存在一点??(a,b), 使得f(?)f''(?)?. g(?)g''(?)

　　4.若函数f(x)在[a,b]上二阶可导, 且f'(a)?f'(b)?0, 证明：至少存在一点??(a,b),使得f?'(?)?4|f(b)?f(a)|. 2(b?a)

　　5. 设函数f(x)在x?1处附近有定义，且在x?1处可导，f(1)?0,f?(1)?2,

　　f(sin2x?cosx)求lim. 2x?0x?xtanx

　　6. 设f(x)在[1,??)连续可导, 且成立f'(x)?

　　试证明极限limf(x)存在. x????111??ln(1?)?. ?2x?1?f(x)?x

　　7. 设函数f(x)在[0,2]上具有二阶连续导数, 且f(1)?0. 证明：至少存在一点??[0,2], 使得f??(?)?3?f(x)dx. 02

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