12省高数
12年浙江省高等数学竞赛(微积分)
2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题
数学类
一、计算题（每小题14分，满分70分） logx(xa?xb)。 1．求极限xlim???
线
2．设函数f:R?R可导，且?x,y?R，满足f(x?y)?f(x)?y?xy，求f(x)的表达式。 订
装
3．计算? 0
?xdx。 (cosx?sinx)cosx
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1
12年浙江省高等数学竞赛(微积分)
4．计算??x?ymin?x,2y?dxdy，D为y2?x与y?x2围成的平面有界闭区
D
域。
5．求??1Cn
2n的值。
n?1(2n?1)22n
二、（满分20） 证明：?x,y?[0,1] ? ?[0,1]使xey?yex
x?y?1? 2。
2
12年浙江省高等数学竞赛(微积分)
三、（满分20分）
设u:R2?R所有二阶偏导连续，证明u可表示为u(x,y)?f(x)g(y)的充?2u?u?u?分必要条件为u。 ?x?y?y?y
四、（满分20分）
在草地中间有一个底面半径为3米的圆柱形的房子。外墙脚拴一只山羊，已知拴山羊的绳子长为?米，外墙底面半径为3米，求山羊能吃到草的草地面积
五、（满分20分）
设an?0，?an收敛，证明：
n?1?
1N2???limN?an??0?lim?nan?0?N?N???N??Nn?1?n?N???。
3
12年浙江省高等数学竞赛(微积分)
数学类答案
一、计算题
ab?a?ba
imlxoxga?(xb?limlxoxg?x(1?a?)lxim?xlog?(a1 1、若a?b xl???
x???x???
imxxla?oxbg同理，当a<b时，xl???
x???
(=b， 所以
limxxla?oxbg=maaxb (
f(x?y)?f(x)
?1?x
y
2、解：由假设，?y?0，有
f可导?f??(x)?1?x
同理f??(x)?1?x?f?(x)?1?x f(x)?x?x2/2?c 3、解：
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?0
?
40
xdx??x??令
内容需要下载文档才能查看x?t??/4? (cosx?sinx)cosx?dt)??
??
?/4?t
(cot?sint)cost
t
?
??
?
x?
dt?
(cost?sint)cost8
?/40
?
x?
dx?
(cosx?sinx)cosx8
?
1
dtanx 1?tanx
?
?
8
ln?1?tanx?
?
?
8
ln2
4、解：D1??
内容需要下载文档才能查看x,y?x?y??x?1,D2???x,y?x/2?y?x,0?x?1/2? D3???x,y?x2?y?x,1/2?x?1?,D4???x,y?x2?y?x/2,0?x?1/2? 原积分???(y?x)xdxdy???(x?y)xdxdy???(x?y)xdxdy???
内容需要下载文档才能查看(x?y)ydxdy
D1
D2x
??
D3D4
??dxy?x)xdy?1dx?2(x?y)xdy??dx1(y?x)xdy??dx?(x?y)2ydy
x
2
x
2x
11
120
x
1201x2x2
132111111?x?x2?x41?(x4?x5?x6)11?x467808512322
1
20
112?(x4?x6?x7)24621
1
20
4
12年浙江省高等数学竞赛(微积分)
?
111111253
?????
24?724?532?24?532?1664?2117920
5、解：而
1(2n)!(2n?2)!(2n?2)!1n
C???2n22n2n22n?12n?2
(2n?1)2(2n?1)2(n!)2n!(n?1)!2?(n?1)!?2n
1n?1
C?2n?22n2
2112n(2n?1)n
?C ?1?2n2n22
(2n?1)22n2n
1
n
C 2n2n2
而
1n
C2n?0 ?原级数?1 2n2
xey?yexey/y?ex/x
?二、证明：对于x?y不妨设y?x， x?y1/y?1/x
由柯西中值定理
????x,y???0,1?
xey?yex?e??e?1?
?/(?)?e(1??)?1??
内容需要下载文档才能查看22
x?y??xey?yex
?1? 2 取 ?(0,1) 即有
x?y
三、证明：u?f(x)g(y)时，显然有uuxy?uxuy
反之，若uuxy?uxuy成立，即有(uuxy?uxuy)/u2?(x)y?0
?ux/u?f1(x)
uu
也即
lu?n?
1
f(?x
1
)x?d2 g (?y
1
)
?u?f(x)g(y)
四、解：(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点，拴羊点在x轴上x?3点，则羊跑最远的曲线在x?3的区域内是渐开线 即 x?3(cost?(?/3?t)sint)
y?3(sint?(?/3?t)cost)
记在x?3山羊能吃到草的草地面积为S1
S1?2?
33/2
ydx?2?
?/30
?/3
9sin2tdt?2?
?/3
(3sint?(??3t)cost)(3t??)costdt?2?
?/30
?/3
9sin2tdt
?2?22
3?(??3t)sintcost?(??3t)cost???dt?2?
9sin2tdt
?/3?11???
??3(??3t)sin2t?(??3t)2(t?sin2t)????6(??3t)(t?sin2t)?9sin2t?dt 022????0
?/3
5
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