自考线性代数第四章线性方程组习题

第四章 线性方程组

一、单项选择题

1．设A为5阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ）

A．2 B．3

C．4 D．5

2．设m×n矩阵A的秩为n-1，且ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解，则Ax=0的通解为（ ）

A．kξ1，k∈R

C．kξ1+ξ2，k∈R B．kξ2，k∈R D．k(ξ1-ξ2),k∈R

3．对非齐次线性方程组Am×nx=b，设秩（A）=r，则（ ）

A．r=m时，方程组Ax=b有解 B．r=n时，方程组Ax=b有唯一解

C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解 D．r<n时，方程组Ax=b有无穷多解

4．设 1, 2, 3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该

方程组基础解系的是（ ）

A． 1, 2, 1 2

C． 1, 2, 1 2 B． 1 2, 2 3, 3 1

D． 1 2, 2 3, 3 1

5 若四阶方阵的秩为3，则（ ）

A.A为可逆阵 B.齐次方程组Ax=0有非零解

C.齐次方程组Ax=0只有零解 D.非齐次方程组Ax=b必有解

6.设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是（ ）

A.A的行向量组线性相关 B.A的列向量组线性相关

C.A的行向量组线性无关 D.A的列向量组线性无关

7．设A为m n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax 0有非零解的充分必要条件是（ ）

A．r(A) n B．r(A) m

C．r(A) n D．r(A) m

8.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是

（ ）

A.1 B.2

C.3 D.4

9.设A是m×n矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（ ）

A.m≥n B.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解

C.r（A）=m D.Ax=0存在基础解系

10.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（ ）

A.小于m

C.小于n B.等于m D.等于n

11. 若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( )

A.2

C.4

B.3 D.5

二、填空题

a11a121．设A= a21a22 a 31a32 a11x1 a12x2 a13x3 0a13 为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组a23 a21x1 a22x2 a23x3 0的 ax ax ax 0a33 333 311322

解为_________.

2．设非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵为

1002 1 010 1 2 ，则该方程组的通解为_________. 0024 6

3.已知x1=(1,0,-1)T, x2=(3,4,5)T是3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则对应齐次线

性方程组Ax=0有一个非零解向量 =__________________.

4.设齐次线性方程Ax=0有解 ，而非齐次线性方程且Ax=b有解 ,则 是方程组_____________的解。

x1 x2 05.方程组 的基础解系为_____________。 x x 03 2

2 1 1 0 ，6．已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为 0a 1若该方程组无解，则a 的

00a 1

取值为______.

7. 设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A（5α2-4α1）=_________.

a11 x1 1 8.设线性方程组 1a1 x2 1 有无穷多个解，则a=_________.

11a x3 2

9.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=__________________.

x1 x2 x3 010.齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数为________________. 2x x 3x 03 12

11.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.

1 1 12.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1= 2 ，α2= 2 且r(A)=2，则Ax=b的通解是

3 3

_______________.

三、计算题

x1 x2 x3 x4 0 1．求齐次线性方程组 x1 2x2 4x3 4x4 0的一个基础解系.

2x 3x 5x 5x 0234 1

ax1 x2 x3 0 2.设3元齐次线性方程组 x1 ax2 x3 0，

x1 x2 ax3 0

（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；

（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.

3.求 取何值时,齐次方程组

( 4)x1 3x2 0 4x1 x3 0

5x x x 0123

有非零解？并在有非零解时求出方程组的通解。

x1 x2 a1 4．已知线性方程组 x2 x3 a2

x x a13 3

(1)讨论常数a1,a2,a3满足什么条件时，方程组有解．

(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．

x1 x2 2x4 0 5.求齐次线性方程组 4x1 x2 x3 x4 0的基础解系及其通解.

3x x x 0123

x1 2x2 3x3 4 6. 问a为何值时，线性方程组 2x2 ax3 2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出

2x 2x 3x 623 1

其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。

7. 求非齐次线性方程组

x1 x2 3x3 x4 1 3x1 x2 3x3 4x4 4的通解.

x 5x 9x 8x 0234 1

四、证明题