A-Child’s-Garden-of-Fractional-Derivatives分数阶导数毕业论文外文文献翻译及原文

　　毕 业 设 计（论文）

　　外 文 文 献 翻 译

　　文献、资料中文题目：分数阶导数的儿童乐园

　　文献、资料英文题目：A Child’s Garden of Fractional Derivatives 文献、资料来源：

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　　指导教师：

　　翻译日期： 2017.02.14

　　译文：

　　分数阶导数的儿童乐园

　　Marcia Kleinz , Thomas J. Osler

　　大学数学学报（美国），2000年3月，31卷，第2期，第82-88 页

　　1引言 df(x)d2f(x)12或Df(x)或Df(x)2我们都熟悉的导数的定义。通常记作dx dx这些都是很容

　　易理解的。我们同样也熟悉一些有关导数的性质，例如D[f(x)?f(y)]?Df(x)?Df(y)但是d1/2f(x)1/2或者Df(x)又代表什么意思呢？大多数的读者之前肯定没有遇到过像这样的记号1/2dx

　　导数的阶数是1/2的。因为几乎没有任何教科书会提到它。然而，这个概念早在18世纪，Leibnitz已经开始探讨。在之后的岁月里，包括L’Hospital, Euler,Lagrange, Laplace, Riemann, Fourier, Liouville等数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。现在，关于―分数微积分‖的文献已经大量存在。近期关于―分数微积分‖的两本研究生教材也出版了，就是参考文献[9]和[11]。此外，两篇在会议上发表的论文[7]和[14]也被收录。Wheeler在文献[15]已编制了一些可读性较强，较易理解的资料，虽然这些都还没有正式出版。

　　本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。而不是像平常教科书里面的从定义-引理-定理的方法介绍它。我们寻找了一个新的想法去介绍分数阶导数。首先我们从熟悉的n阶导数的例子开始，比如Denax?aneax。然后用其他数字取代自然数字n。这种方式，感觉像是侦探一样，步步深入。我们将寻求蕴含在这个构思里面的数学结构。我们在探讨了各种思路，对分数阶导数的概念后，才对分数阶导数给出正式定义。（如果想快速浏览它的正式定义，请参见米勒的优秀论文，参考文献[8]。）

　　随着探究的深入，我们会不时地让读者去思考一些问题。对这些问题的答案将在本文的最后一节呈现。那到底什么是一个分数阶导数呢？让我们一起来看看吧……

　　2指数函数的分数阶导数

　　我们将首先研究指数函数e的导数。因为他们导数的形式，比较容易推广。我们熟悉eaxax

　　1axax2ax2ax3ax3axDe?ae,De?ae,De?ae，在一般情况下，当n为整数时，的导数的表达式。

　　1/2ax1/2axDneax?aneax。De?ae呢？我们何不尝试一下？那么我们能不能用1/2取代n，并记作

　　为什么不更进一步，让n是一个无理数或者复数比如1+i？

　　我们大胆地写作

　　D?eax?a?eax， （1）

　　对任意一个?，无论是整数，有理数，无理数，还是复数。当?是负整数时，考虑（1）

　　1axaxe?D((e))e?D(D(e))式的意义是很有趣的。我们自然希望有成立。因为，所以aax?1ax

　　我们有D?1(eax)??eaxdx。同理D?2(eax)???eaxdxdx

　　?。当?是负整数时，我们将D看作是??n次迭代的积分是合理。当?是正实数，D代表导数，当?是负实数，D代表积分。

　　请注意，我们还没对一般函数给出分数阶导数的定义。但是，如果这一定义被发现，我们期望指数函数的分数阶导数遵循关系式（1）。我们注意到，刘维尔在他的论文[5]和[6]中就是采用这种方法去考虑微分的。

　　问题

　　a1xa2xa1xa2x?D(ce?ce)?cDe?cDe1212问题1：在上述情况下，成立吗？

　　问题2：在上述情况下，DDe

　　问题3：上述??ax?D???eax成立吗？ D?2(eax)???eaxdxdx，真的正确吗？还是遗漏了一些D?1(eax)??eaxdx和

　　东西？

　　问题4：用蕴含在（1）式的想法，怎样对一般性的函数求分数阶导数？

　　3三角函数：正弦函数和余弦函数

　　012Dsinx?sinx,Dsinx?cosx,Dsinx??sinx,?我们对于正弦函数的导数很熟悉：

　　这些对于寻求D1/2sinx，并没有明显的规律。但是，当我们画出这些函数的图形时，会挖掘出其中的规律。即每当我们求一次微分，sinx的图像向左平移?/2。所以对sinx求n次微分，那么得到的图像就是sinx向左平移n?/2，即得到Dnsinx?sin(x?n?)2。如前，我们用任意数?替换正整数n。所以，我们得到正弦函数的任意?次导数的表达式，同理我们也得到余弦函数的：

　　D?sinx?sin(x???

　　2),D?cosx?cos(x???

　　2).

　　（2）

　　在得到表达式（2）之后，我们自然想，这个猜测与指数函数的结果是否保持一致。为了验证这个猜测，我们可以使用欧拉公式e?cosx?isinx。利用表达式（1），我们可以计算得ix

　　D?eix?i?eix?e(i??/2)eix?cos(x?

　　到

　　问题

　　?Dsin(ax)是什么？ 问题5：??2)?isin(x???2，这与（2）式是吻合的。 )

　　4x的导数

　　我们现在看看x次方的导数。我们以x为例有： pp

　　D0xp?xp,D1xp?pxp,D2xp?p(p?1)xp,?,

　　Dnxp?p(p?1)(p?2)?(p?n?1)xp?n.

　　表达式（3）用连乘(p?n)!的分子和分母去替换，则得到结果如下 (3)

　　xp?

　　npp(p?1)(p?2)?(p?n?1)(p?n)(p?n?1)?1p?np!x?xp?n(p?n)(p?n?1)?1(p?n)!(4) 上式就是Dx的一般表达式。我们通过伽玛函数，用任意数?替换正整数n。当（4）式中的

　　p和n是不是自然数时，伽玛函数使他们在替换后任然有意义。伽马函数是欧拉在18世纪引进

　　?

　　的概念。当时是推广记号z!，当z不是整数时。它的定义是?(z)?e?ttz?1dt，它具有这样的?0

　　性质?(z+1)?z!。

　　np那么我们可以将表达式（4）重新写作Dx??(p?1)xp?n,这使得当n不是整数式，?(p?n?1)

　　（4）式还是有意义的。所以对于任意的?，我们写作

　　D?xp??(p?1)xp??

　　?(p???1)(5)

　　利用（5）式，我们可以将分数阶导数延伸到很多的函数。因为对于任意给定的函数，我们可以利用Taylor级数展开成多项式的形式，f(x)?

　　次微分，那么我们得到 ?ax,假设我们可以对f(x)进行任意nnn?0?

　　Df(x)??anDx??an??n

　　n?0n?0???(n?1)xn??.?(n???1)(6)

　　最终那个表达式（6）呈现出具有作为分数阶导数定义候选项的气质。因为大量的函数都可以利用Taylor公式展开成幂级数的形式。然后，我们很快会发现它会导致矛盾的产生。 问题

　　问题6：Df(x)是否有几何意义？

　　?

　　5一个神秘的矛盾

　　我们将e的分数阶导数写为 x

　　D?ex?ex

　　现在让我们拿它与（6）式进行对比，看看他们是否一致。

　　从Taylor级数来看，e?x(7) ?n!x,结合（6）式，我们得到如下表达式 n

　　n?0?1

　　xn

　　De??.

　　n?0?(n???1)?x?

　　x(8) 但是，（7）及（8）是不等价的，除非?是整数。当?是整数时，（8）式的右侧是e的级

　　数形式，只是用不同的表达方式。但是当?不是整数时，我们得到两个完全不一样的函数。我们发现了历史上引起大问题的矛盾。这看起来好像我们，指数函数的分数阶导数的表达式（1）与次方函数的分数阶导数的公式（6）是相互矛盾。

　　正是因为有这样一个矛盾，所以分数阶微积分一般不会出现在初等阶段的教科书里面。在传统的微积分中，导数的次数是整数次的，求导的函数是初等函数。不幸的是，在分数阶微积分中，这是不正确的。通常，一个初等函数的分数阶导数是较高级的超越函数。关于分数阶导数的表格，请参阅文献[3]。

　　此时，您可能会问我们怎么继续探究呢？这个谜团将在之后的部分中被解决。敬请关注……

　　6多重迭代积分

　　?1我们一直在谈论导数。积分也是反复被提及的。我们可以写Df(x)??f(x)dx，但是等

　　式右边是不确定的。我们可以写作Df(x)??1?x

　　0f(t)dt。第二次积分可以写成

　　D?2f(x)??x

　　0?t20f(t1)dt1dt2。积分区域是图1中的三角形。如果我们交换积分的顺序，那么

　　?2图1的右侧图可以表现出Df(x)???0xxt1f(t1)dt2dt1。

　　因为f(t1)不是一个关于t2的函数，所以可以将里面的积分移到外面，即

　　D?2f(x)??f(t1)?dt2dt1??f(t1)(x?t1)dt1 0t10xxx

　　或者Df(x)??2?x

　　0f(t)(x?t)dt。

　　使用相同的过程步骤，我们可以写出

　　1x1x2?4Df(x)??f(t)(x?t)dt,Df(x)?f(t)(x?t)3dt, ?202?30?3

　　在一般情况下，

　　x1Df(x)?f(t)(x?t)n?1dt. ?(n?1)!0?n

　　现在，我们用先前做的方法，用任意数?替换?n，用伽玛函数替换阶乘，然后得到

　　D?f(x)?x1f(t)dt??1?0?(??)(x?t)(9)

　　这个一般性的表达式（使用积分）的分数阶导数表达式，有成为定义的潜力。但是存在一个问题。如果???1,该积分是反常积分。因为当t?x,x?t?0.对任意??0，积分是发散的。当?1???0,反常积分收敛。所以当?是负数时，原表达式是正确的。因此当?是负数时（9）式收敛，即它是一个分数阶次积分。

　　在我们结束这一部分之前，需要提下，趋于零的下极限是任意的。可以简单的认为存在下极限b。但是会造成最后结果表达式的不同。正因为如此，很多这个领域的研究人员使用符号b?Dxf(x)。这个符号说明了极限过程是从b到x的。这样我们从（9）式得到

　　x1f(t)dt??1?b?(??)(x?t)?

　　bDxf(x)?(10)

　　问题