教资考试|初中数学学科知识：2.1不等式及其基本性质

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教资考试|初中数学学科知识：2.1不等式及其基本性质

　　第二章不等式

　　核心考点提示

　　1.掌握不等式的基本性质，以及不等式证明的基本方法，熟记常见的重要不等式。

　　2.掌握求解常见不等式方程(分式不等式、绝对值不等式、一元二次不等式、指数不等式、对数不等式等)的基本方法。

　　3.了解不等式的基本应用以及简单的线性规划问题的基本方法。

　　第一节不等式及其基本性质

　　一、不等式的概念 ★

　　用不等号或连接两个代数式表示不等关系的式子叫不等式。不等式分为严格不等式和非严格不等式。

　　二、不等式的基本性质 ★

　　1.如果xy，那么yy;(对称性)

　　2.如果xy，y那么x(传递性)

　　3.如果xy，而z为任意实数或整式，那么x+z(加法法则)

　　4.如果xy，z0，那么xz如果xy，z0，那么xzyz

　　5.如果xy，z0,那么xzy如果xy，z0,那么xzyz

　　6.如果xy，mn，那么x+m(充分不必要条件)

　　7.a0?1/a(倒数法则)

　　8.a0?anbn(nN*且n(乘方法则)

　　9.含有绝对值不等式的性质：

　　(1)|a|+|b|

　　(2)|a|-|b|

　　(3)|a|-|b||a-b||a|+|b|。

　　三、不等式的证明 ★★★

　　(一)比较法

　　比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

　　1.差值比较法

　　差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：若a-b0，则a若a-b0，则a。其一般步骤为：

　　(1)作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;

　　(2)变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;

　　(3)判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。

　　应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

　　2.商值比较法

　　商值比较法的理论依据是：若a，bR+，ab1，则a1，则a.其一般步骤为：

　　(1)作商：将左右两端作商;

　　(2)变形：化简商式到最简形式;

　　(3)判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。

　　应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

　　(二)综合法

　　从已知条件或已经证明的不等式出发，根据不等式的性质、基本不等式或函数单调性直接证出待证不等式。

　　(三)分析法

　　从待证的不等式出发分析使这个不等式成立的充分条件，直至使不等式成立的条件都已具备，就可确定待证不等式成立，这种思想通常简单地称为执果索因。

　　(四)缩放法

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