实验9(1)基金会分配奖金问题计算

基金会分配奖金问题

华怡菁 33

徐文洁 32

刘雪飞 31

1、 问题提出

某基金会获得一笔基金20万元。准备存入银行在60年内奖励某些方面有特殊贡献的人。基金会准备在第60年留下3000元处理基金会的结束事务。

假设每年取用的奖金在1.5万元至4万元之间。已知银行的利率为年利10%，设计一个使用奖金的最优策略，使基金会在60年内从银行取走作奖金的钱的总和最多。

2、 建立模型

设基金会在银行的存款数为x(t)，每年取用的钱数为u(t)，则该系统的状态方程为

dx 0.1x u,x(0) 20 dt

问题为求u(t)使x(60)=0.3 , 并使基金会内从银行取走作奖金的钱的总和

J(u) u(t)dt,060

最大。

这里u(t)是决策变量，它是定义在（0，60）上的函数，J(u)是目标函数，因为它依赖于函数u(t),是函数u(t)的函数，称为目标函数。这时一个典型的动态最优化问题。在经济学中常把这个问题记为

1.5 u(t) 4maxJ(u) u(t)dt,060

dx 0.1x us.t. dt x(0) 20x(60) 0.3

这个问题的最优策略是

1.50 t 16 u*(t) 416 t 60

基金会应用此策略从银行取走的钱的总数为J (16 1.5 44 4)万元=200万元，?它是一个相当可观的数量。

3、 问题求解

基金会的最优策略问题是

1.5 u(t) 4maxJ(u) u(t)dt,060

dx 0.1x us.t. dt x(0) 20x(60) 0.3

第一步：写出哈密顿函数

H u [0.1x u] 0.1 x (1 )u

第二步：由最大值原理可知，u应使哈密顿函数最大，为此应该

1.5 0即 0 u*(t) 4 0即 0

第三步：由于第二步中u只依赖于 ,该问题的协状态方程又不依赖于x，因此可以直接解协状态方程。

d 0.1 dt

(t) (0)e 0.1t

下面分析 (t)何时小于1，何时大于1。由以上 (t)的解式知：如果 (0) 1,则在（0，60）内 (t) 1，因此在（0，60）区间内u(t) 4，这时的状态方程得初始问题：

dx 0.1x 4 dt

x(0) 20

其解为： x(t) 20e0.1t 40

对于这个解，显然有x(60) 0，这表明如果每年都取4万元，基金很快就会被用完。因此不可能是 (0) 1的情况，那么必然为 (0) 1。开始时应取u=1.5，解初始问题

dx 0.1x 1.5 dt

x(0) 20

应用MATLAB函数

〉〉dsolve('Dx1=0.1*x1-1.5','x1(0)=20')

结果为：

Ans=15+5*exp(1/10*t)

得到轨迹 l1:x(t) 5(e0.1t 3)

对于这个解x(60)>0.3,最优解必须在适当的时刻（记为ts），由u*=1.5切换到u*=4,

即最优控制为

1.50 t ts u*(t) 4ts t 60

下面求切换时间ts。它应为终值问题

dx 0.1x 4x(60) 0.3 dt

的解的轨迹l2与轨迹l1的交点所对应的时间。

应用MATLAB函数

>> dsolve('Dx2=0.1*x2-4','x2(60)=0.3')

结果为： Ans=40-397/10*exp(1/10*t)/exp(6)

得到上面的终值问题解得轨迹

l2:x(t) 39.7e0.1(t 60) 40

下面通过求l1与l2的交点求ts：

x(t) 5(e0.1t 3) 39.7e0.1(t 60) 40

可以用MATLAB函数解这个方程：

>> solve('15+5*exp(1/10*t)=-397/10*exp(1/10*t)/exp(6)')+40

结果为：

Ans=10*log(250/(50*exp(6)+397))+60

这个式子的值可以直接由MATLAB算出：

〉〉10*log(250/(50*exp(6)+397))+60

dsolve('Dx1=0.1*x1-1.5','x1(0)=20')

dsolve('Dx2=0.1*x2-4','x2(60)=0.3')

solve('15+5*exp(1/10*t)=-397/10*exp(1/10*t)/exp(6)')+40

10*log(250/(50*exp(6)+397))+60

ans =

15+5*exp(1/10*t)

ans =

40-397/10*exp(1/10*t)/exp(6)

ans =

10*log(-150/(50*exp(6)+397))+100

ans =

15.8995

结果为： Ans=15.8995

4、结果分析

问题的解表明切换时间ts=16年，于是得到最优策略

1.50 t 16 u*(t) 416 t 60

应用此策略基金会从银行取走的钱的总数为：

J=(16*1.5+44*4)万元=200万元

应用MATLAB的绘图功能可以方便地绘出该例求切换时间的示意图。 >> t=0:1:60;

x1=15+5*exp(1/10*t);

x2=40-397/10*exp(1/10*t)/exp(6);

plot(t,x1,t,x2); % 在x—t平面上绘制两条曲线

Axis([0,60,0,200]) % 设置适当的坐标系，以取得较好的图形效果

该例表明，动态最优化的求解过程实质的运算是求微分方程的初值问题和终值问题的解。有时辅以适当的图形，这些工作都可以由MATLAB完成。本例就是依据最大值原理给出的必要条件，应用MATLAB采用人——机交互的方式完成的。