实验五 误差分析

实验五 绪论－－误差分析

【实验目的】

1、了解数值计算中的误差种类，及避免误差危害的几种手段， 2、深刻体会”数学上恒等，数值上不一定恒等”的含义 3、为本课程的学习准备良好的数值思想

【实验内容】

1、误差的来源与分类

2、数值计算中避免误差危害的若干方法 3、数值实验举例

4、根据要求，完成实验报告中的内容

【实验指导】

1) 误差的来源与分类

误差的来源是多方面的, 通常误差主要由以下4个方面的因素引起： （1） （2）

模型误差（Modeling Error）――把实际问题向数学问题转化的过程中，忽略观测误差（Measurement Error）――在一般的数学模型中，往往含有比较多

了一些对问题影响不是很大的因素，我们称这种忽略了的因素为模型误差；

的参数，而这些参数的值一般都需要通过观测得到，而观测得到的结果由于受到观测设备、观测方法等因素的影响往往都有误差，我们称这种由于观测引起的误差为观测误差。

（3） 截断误差（Truncation Error）――当我们不能得到数学模型的精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差。例如：在计算机上直接使用公式

e

1

n 0n!计算e时，会出现无穷过程的计算，不能在有限时间内得到需

要的结果，因此，通常需要将上述无穷过程近似为有穷过程：似的计算结果，这样用数值方法中的有穷过程替代数学模型中的无限过程时，就会产生上述截断误差。截断误差又称为方法误差。

（4）

舍入误差（Roundoff Error）――由于计算机的字长有限，在使用计算机进行

e

1

n 0n!，由此可以得到近

N

1数据处理时，计算机表示的数据或计算结果会与原始数据或理论上的计算结果有差异，这种3，在计算机上表示时，只能表示成0.331误差就是舍入误差。比如说

3的形式，这里

0.33

3与3的误差就是舍入误差。

由于误差是不可避免的，我们只能尽可能的减少它对计算结果的影响。在计算方法这门课程中，我们主要关心如何减少截断误差与舍入误差对计算结果的影响。

2) 数值计算中避免误差危害的若干方法 （1）

选择稳定的算法――稳定算法是指后面一次运算产生的误差不能把前面一次

运算所产生的误差扩大，这样就可以保证在运算过程中计算结果的误差能够控制，保证计算结果的可靠性；

（2） 避免相近两数相减――由于两个相近数相减，会丢失有效数字，从而会增大相对误差。避免相近数相减需要结合具体的问题采取不同的方法或技巧。例如：当 0,x 1时，利用等式

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ε

ln x ε lnx ln 1

x

可以避免相近数相减。

（3） （4） （5）

避免分母过小或用绝对值较大的数作乘数――分母过小或乘数过大会导致计避免大数“吃”小数；

简化计算，减少计算步骤――一般来说运算次数减少，则计算过程中的积累误

算机数据溢出，从而影响计算结果；

差有可能下降，这样就可以达到降低误差的目的。

3) 数值实验举例

（1）下述三个表达式在数学上是恒等的，试在字长为m的计算机上，分别利用这三个表达式计算其在区间[0,2 ]上一些点处的函数值，并比较计算结果，并说明理由。

A (1 cosx)/x2,B ((sinx)/x)2/(1 cosx),C 2((sin(x/2))/x)2

解：为了能够模拟字长为m的计算机上的数值计算我们先编写函数digit（x, m），其功能是将向量x表示成字长为m的规格化浮点向量。函数digit（x, m）的Matlab程序如下： function y=digit(x,m)

% This function is used to round x towards % a nearest normalized scientific m-digit number. % For example,

% digit(12.345,3)=0.123*10^2; % digit(12.345,4)=0.1235*10^2; % digit(0.012345,3)=0.123*10^{-1}. % Input:

% - x is a vector in R^{k}.

% - m is the given number of significant % decimal digits of computer. % Sep., 26, 2007 by Xu Minghua. k=max(size(x));

y=x; % initialize the value of y. for i=1:k if x(i)<0 sign=-1; else sign=1; end

x(i)=abs(x(i)); p=0;

if x(i) < 0.1 & x(i) > eps

while x(i) < 0.1 x(i)=x(i)*10; p=p-1; end end if x(i) >=1 while x(i)>=1 x(i)=x(i)/10; p=p+1; end end

y(i)=round(x(i)*10^m)/10^m; y(i)=sign*y(i)*10^p; end return

为了便于看出上述三种表达式在数值计算上的差异，我们设计算机的字长m 2，并将

x分别取为：2e-1

2e-2 2e-3 2e-4 2e-5

pi/2 pi 3*pi/2

2*pi

从上述计算结果可以知道：数学上恒等，数值上不一定恒等。结合防止误差的危害手段思考造成上述差异的原因。

上述计算的主程序如下： % Main program for Example 1

% Show the difference of the following 3 expressions % 1. A=(1-cosx)/x^2, % 2. B=(sinx/x)^2/(1+cosx), % 3. C=2(sin(x/2)/x)^2 % in numerical computation. clc m=2;

x=digit([2e-1 2e-2 2e-3 2e-4 2e-5 pi/2 pi 3*pi/2 2*pi]',m);

a=(1-digit(cos(x),m))./digit(x.^2,m); a=digit(a,m);

b=digit(digit((digit(sin(x),m)./x),m).^2,m)./digit(1+cos(x),m); b=digit(b,m);

c=2*digit((digit(sin(digit(x./2,m)),m)./x),m).^2; c=digit(c,m); [x, a, b, c]

（2）编写程序按照给定的顺序，在给定字长的计算机上分别计算

S1 12345 1 2 1000 S2 1 2 1000 12345

其中 i,i 1:1000,为区间[0, 0.5]上的随机数，在此基础上演示数值计算过程中大数吃小数的现象。

解：下述程序先在许可的计算机精度下计算S1和S2，然后模拟字长为m的计算机按照上述给定顺序计算S1和S2，为了能够看到大数吃小数的现象，字长取为m 5。程序与结果分别如下： Matlab程序：

% Compute $S1=A+B(1,1)+ \cdots +B(1,n)$ and $S2=B(1,1)+\cdots+B(1,n)+A$, and % show "big number" eating "small number". % Assume the computer is an m-digit computer. clc; m=5;

% initialize the dada A=12345; n=1000;

B=digit(0.5*digit(rand(1,n),m),m);

% Compute $S1=A+B(1,1)+ \cdots +B(1,n)$ and $S2=B(1,1)+\cdots+B(1,n)+A$, % in machine precision. S1=A; for i=1:n

S1=S1+B(1,i); end S2=0; for i=1:n

S2=S2+B(1,i); end S2=S2+A;

fprintf('Numerical results computed in machine precision \n'); fprintf('S1= %8.4e, S2 = %8.4e , S1-S2= %8.4e \n', S1, S2, S1-S2 );

% Compute $S1=A+B(1,1)+ \cdots +B(1,n)$ and $S2=B(1,1)+\cdots+B(1,n)+A$,

% in an m-digit number computer. C1=A; for i=1:n

C1=digit(C1+B(1,i),m); end fprintf('\n');

fprintf('Numerical results computed in a computer with m-digit number \n') fprintf('S1= %8.4e, The error of S1 is %8.4e \n', C1, C1-S1); C2=0; for i=1:n

C2=digit(C2+B(1,i),m); end C2=C2+A;

fprintf('S2= %8.4e, The error of S2 is %8.4e \n', C2, C2-S2); fprintf('S1-S2= %8.4e \n', C1-C2); 运行上述程序可得结果如下：

Numerical results computed in machine precision

S1= 1.2596e+004, S2 = 1.2596e+004 , S1-S2= -9.0949e-012 Numerical results computed in a computer with m-digit number S1= 1.2345e+004, The error of S1 is -2.5088e+002 S2= 1.2596e+004, The error of S2 is -1.0320e-001 S1-S2= -2.5078e+002

从上述结果可以看出如果利用现有的机器精度来计算S1和S2，则两者的差异不大，但如果在字长为5的计算机上计算S1和S2，则两者差异很大，出现了大数吃小数的现象。如果m取值为3，4，6则结果如何？