2015考研数学强化班概率统计重要题型讲解_汤家凤_

第一章 随机事件与概率

题型一 三种基本概型

【内容提要】 一、古典概型

若随机试验的可能结果有限，且每个可能的结果发生的概率相同，称其为古典概型。

P(A)=

A中所含样本点数

。

样本点总数

，则 令Ak={n次试验中A发生k次}（k=0,1, ,n） P(Ak)=Cnp(1 p)三、几何概型

k

k

n k

设Ω为有限区域，且区域中每个点发生等可能，称其为几何概型。 P(A)=

A的几何度量

。

Ω的几何度量

课认

1 1

=3。 14

2

2

2

2

2

【例1】口袋有10个球，其中4个白球、6个黑球，从中任取两个，求：

（1）两个都是白球的概率。 （2）两个球中一个是白球一个是黑球的概率。 （3）至少有一个白球的概率。

【例2】在区间(0,1)内任取两个数x,y，求x,y之差的绝对值小于

准惊

1

（k=0,1, ,n）。

呼

1

的概率。 2

12

设每次试验发生A与A，且P(A)=p，

【解】令Ω={(x,y)|0<x<1,0<y<1}，A={(x,y)|(x,y)∈Ω且|x y|<，则

P(A)=

购

SA

=SΩ

2

【例3】x+y+z≤2内每点等可能取到，求取到单位球与z≥

【解】令Ω={(x,y,z)|x+y+z≤2}，A={(x,y,z)|(x,y,z)∈Ω且z≥又VΩ

=

83

2

π

，

网

二、贝努利概型

设随机试验每次试验只有两个可能结果，且每次试验两个可能的结果发生的概率不变，n次这样的试验称为n重贝努利试验。

x2+y2内点的概率。

x2+y2}，

222 x+y+z=222由 得x+y=1，

22

z=x+y

于是A={(x,y,z)|x+y≤1,x+y≤z≤

2222

2 x2 y2}，

1

VA=

x2+y2≤1

∫∫(2 x y x+y)dxdy=∫dθ∫r(2 r2 r)dr

2

2

2

2

2π

1214(2 1)

]=2π[ (2 r2)2|1 =π， 0

2333

故P(A)=

3

【例4】在3次独立试验中，事件A发生的概率不变且A至少出现一次的概率为

题型二 事件的关系与运算

【例1】设A,B为两个随机事件，且0<P(A)<1，证明：A,B独立的充分必要条件是P(B|A)=P(B|A)。 【例2】设两个独立的事件A,B都不发生的概率为相等，求P(A)。

【例3】设事件A,B同时发生时，事件C一定发生，则下列结论正确的是 （ ）

(A)P(AB)=P(C) (B)P(A+B)=P(C) (C)P(C)≥P(A)+P(B) 1 (D)P(C)≤P(A)+P(B) 1。

题型三 全概率公式与贝叶斯公式

【例1】甲、乙两人对同一目标射击，命中率分别为0.6与0.5，就下列两种情形求“已知目标命中，求是

甲击中的概率”：

（1）甲、乙两人同时射击。 （2）甲、乙两人中先选择一人，由此人射击。

【例2】口袋中有12个球，其中红球5个，白球7个，先后两次各取一个球（不放回），求： （1）求第二次取红球的概率。

（2）已知第二次取红球，求第一次取红球的概率。

【例3】设有来自三个地区的各10、15、25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3、7、5，随机取一个地区，从该地区报名表中先后抽取两份表明表。 （1）求先抽到的是女生报名表的概率p。

（2）已知第二份抽到的男生报名表，求先抽到的是女生报名表的概率q。 【例4】设X~π(λ)，随机变量Y等可能取0~X之间的整数，求P{Y=2}。

2

购

课认

准惊

1

，A发生B不发生的概率与A不发生B发生的概率9

呼

率。

网

VA2 1

。 =

VΩ22

19

，求事件A发生的概27

第二章 一维随机变量及分布

题型一 分布律与分布密度、分布函数

【例1】设X,Y为两个随机变量，其密度为f1(x),f2(x)，分布函数为F1(x),F2(x)，下列函数是密度函数的是 （ ）

(A)f1(x)+f2(x) (B)f1(x)f2(x)

(C)f1(x)F2(x) (D)f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)。 0,x<0 1

【例2】设随机变量X的分布函数为F(x)= ,0≤x<1，求P{X=1}。

2

x

1 e,x≥1

【例3】设X的概率密度为f(x)=Ae

x2 x

【例4】设随机变量|X|≤1，其分布为P{X= 1}=成正比，求F(x)。

11

,P{X=1}=，在( 1,1)内X的概率与区间长度84

【例5】由四个电子元件先两两串联再并联，各个元件工作状态相互独立，且每个元件正常工作时间服从参数为λ的指数分布，求整个系统正常工作T的分布。

2

题型二 常见的随机变量的分布

【例1】设随机变量X~N(2,σ)，且P{2<X<4}=0.4，求P{X<0}。

【例2】设X~N(μ1,σ1),Y~N(μ2,σ2)，已知P{|X μ1|<1}>P{|Y μ2|<1}，则 （ ）

(A)σ1<σ2。 (B)σ1>σ2。 (C)μ1<μ2。 (D)μ1>μ2。

【例3】设X~N(μ,σ)，其中μ<0，对任意常数a，比较F( a)+F(a)与1的大小。 【例4】设随机变量X~U(1,3)，对X独立观察4次，求X>2至少2次的概率。

2

购

10

【例1】设X~ 11

44

【例2】设X~U(0,3)，Y=X+1，求Y的密度函数。 【例3】设X~E(1)，Y=e，求随机变量Y的密度函数。 【例4】设X~E(2)，求Y=1 e

2X

X

课认

2

2

1142

1 ，求Y=X2+1的分布律。 4

2

准惊

的密度函数。

3

题型三 随机变量函数的分布

呼

，求A。

网

1

2,1<x<8

【例5】设随机变量的密度为X的密度为f(x)= 3x，且X的分布函数为F(x)，求

0,其他

Y=F(X)的分布函数。

第三章 多维随机变量及其分布

题型一 二维随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布及独立性

【例1】将一均匀硬币连续投2次，用X,Y分别表示出现的正面和反面的次数，求(X,Y)的联合分布律。【例2】设事件A,B满足：P(A)=

2e (x+2y)x>0,y>0

，求X,Y得边缘分布密度及条件密度。 【例4】设(X,Y)的联合密度为f(x,y)=

0,其他

【例5】设X~U(0,1)，当X=x(0<x<1)时，Y~U(0,x)。

准惊

10

【例3】设X~ 11

421 10 1，Y~ 11

4 421

1 ，且P{XY=0}=1，求P{X=Y}。 4

【例1】设随机变量X,Y相互独立，下表给出了二维随机变量(X,Y)的联合与边缘分布的部分数据，请填上其余数据：

认

（1）求(X,Y)的联合密度。 （2）求Y的边缘密度。 （2）求P{X+Y≤1}。

题型二 随机变量的独立性

【例2】设(X,Y)的联合密度为

e x,0<y<x

。 f(x,y)=

0,其他

4

呼

2

2

0,A不发生 0,B不发生

，Y= ，求(X,Y)的分布律。 X=

1,A发生 1,B发生

网

11

,P(B|A)=P(A|B)=，令 42

（1）求(X,Y)的边缘密度与条件密度； （2）判断X,Y的独立性。

题型三 二维随机变量函数的分布

【例1】设(X,Y)的联合密度为

f(x,y)=

2 x y,0<x<1,0<y<1

，

0,其他

求Z=X+Y的密度函数。

【例2】设X~U(0,1),Y~E(1)，且X,Y独立，求Z=2X+Y的密度。

【例3】设X~E(λ1),Y~E(λ2)，且X,Y独立，求Z=max{X,Y}与Z=min{X,Y}的分布函数。 【例4】设X~N(μ,σ),Y~U( π,π)，求Z=X+Y的密度函数。 【例5】设(X,Y)的联合密度函数为

2

f(x,y)=

（1）求X,Y的边缘分布。 （2）求Z=2X Y的密度函数。

【例6】设X~E(3)，求Y=min{X,2}的分布函数，并讨论其连续性。

10

【例8】设X~ 11

33

1

1 ，Y~U(0,1)，且X,Y独立，Z=X+Y，求： 3

1

（1）Z的分布函数。 （2）P{Z≤|X=0}。

2

购

课认

0

【例7】设X~ 1

41122

1 ，Y~N(0,1)，求Z=XY的分布函数。 4

第四章 随机变量的数字特征

题型一 随机变量的数学期望与方差

准惊

5

1,0<x<1,0<y<2x

。

0,其他

呼

2

，求途5

【例1】从学校到火车站有3个红绿灯，各路口的信号灯相互独立，任一路口遇到红灯的概率为中遇到红绿灯的平均次数。 【例2】某人射击命中率为

1

，设射击直到首次命中目标的射击次数为X，求EX。 5

x 1cos,0<x<ππ

【例3】设X的密度函数为f(x)= 2，对X独立观察4次，用Y表示X>的次数，2

3 其他0,

网