2013暑-新高二物理竞赛班第4讲-磁电路-教师版

2013暑期学而思新高二物理竞赛班讲义

第4讲 磁电路问题

本讲导学

磁电路问题是电磁感应章节比较复杂的问题，由于对电路概念，原理考查的比较深，所以我们专门用一讲进行专题训练.

本讲的难点有两点：1.电势差，阻降，电动势，电压表读数等相似概念的区别.

2．微分方程的应用.

知识点睛

一．电路概念问题辨析

1. 关于电路电压：

我们在春季学期电路一讲学过，电路两端电压等于电路上各个电压升降的代数和.例如如下一段电路：

形成稳定电流时应该有：Ua Ir1 E1 IR1 E2 Ir2 IR2 Ub 或者ab两端电压：Uab E2 I(R1 R2 r1 r2) E1

电路中的E1，E2等可以是任意电动势，例如感生或动生电动势.

2. 关于法拉第电磁感应定律与感生电动势动生电动势的概念联系与区别：

1）法拉第定理计算出来的电动势是整个回路的总电动势，研究的物理量是磁通量的变化，得出的电动势是整个回路的，但是电动势具体在电路的哪一部分分布无所知.

2）动生电动势的研究的部分导体，所以会具体指导电路中电动势具体的分布.

3）感生电动势如果用NS

B

计算依然不知道电动势具体在每根导线上的分布，但是如果磁场是 t

对称分布，电路几何形状也是对称的话，那么每个边上的电动势一定是等大的.

对于圆形磁场均匀变化形成的电动势用 E dl计算既可以计算整个回路电动势，也可以计算部分导线上的电动势. 3. 具体到问题：

1） 如果我们计算部分电路中两点间电势差，则我们必须了解这部分所有电器上的电流，计算阻降，但是也必须计算这部分电路导线上的部分电动势.

2） 如果我们计算部分电路中电流，则只需要了解回路的总电动势即可，这样法拉第定律即可满足需求.

3） 如果我们计算理想电压表读数，或者稳定时电容器电压，由于电压表或者稳定电容体现的局部的阻降U，那么我们把含表（容）的一路当做断路，把这个阻降U

列入整个回路的基尔

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霍夫定律方程组即可，这样的问题我们也只需要计算整个回路的总电动势.

例题选讲

【例1】 在一半径为R的无限长密绕螺线管中有一均匀磁场，磁感应强度随时间线性变化(即 ΔB/Δt=k). 现用单位长度电阻为r的导体线弯成半径为a的圆环，并把此环与螺线管同心放置（如图），求圆环中电流（考虑a>R和a<R两种情况）.

【解析】 a>R:

21 =

a<R:

【例2】 在上题中，圆环上处于同一直径上的两点AC之间电压UAC为多少？

=

【解析】其实就是预热一下电压、电动势的计算，估计还是有不会的…

= + =0

【例3】 在一无限长密绕螺线管中有一均匀磁场，磁感应强度随时间线性变化(即ΔB/Δt=k)，求螺

线管内横截面上,长为l的直线段MN上的感生电动势. (横截面圆的圆心O到MN的垂直距离为h)

【解析】:求感生电动势有两种方法. 根据电动势的定义：某一线段上的感生电动势等于感生电场搬运单位正电荷沿此段运动时所做的功.

E在MN上任选一小段 l，O点到 l距离为r， l处的感如图所示，与

l的夹角为θ，感生电场沿

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l移动单位正电荷所做的功为

A E感 lcos ， 而

E感

r Br B

A lcos

2 t则 2 t

A

h B

l2 t

而 rcos h 故

把MN上所有 l的电动势相加，

1 B1 B l hl2 t2 t

(2)用法拉第定律求解. 连接OM，ON，则封闭回路三角形OMN的电动势等于其所包围的磁通量的变

化率.

EOM和ON上各点的感生电场感均各自与OM和ON垂直，单位正电荷OM和ON上移动时，感生电场的

功为零，故OM和ON上的感生电动势为零，封闭回路OMNO的电动势就是MN上的电动势.

【例4】 两根长度相度、材料相同、电阻分别为R和2R的细导线，围成一直

径为D的圆环，P、Q为其两个接点，如图所示. 在圆环所围成的区域内，

存在垂直于圆指向纸面里的匀强磁场. 磁场的磁感强度的大小随时间增大，

变化率为恒定值b. 已知圆环中的感应电动势是均匀分布的. 设MN为圆环上的两点，MN间的弧长为半圆弧PMNQ的一半. 试求这两点间的电压1 BS lhB

2 1 B hl

t2 t

UM UN.

【解析】：根据电磁感应定律，整个圆环中的感应电动势的大小为

E

1

D2b t4

此电动势均匀分布在整个环路内，方向是逆时针方向. 由欧姆定律可知感应电流为

I

ER 2R

M、N两点的电压

UM UN

1R

E I 2R 42 1

D2b48

由以上各式，可得

UM UN

可见，M点电势比N点低

【例5】 在图中，半径为R的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面指向纸外，磁感应强度B

随时间均匀变化，变化率 B/ t K(K为一正值常量),圆柱形区外空间没有磁场，

沿

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图中AC弦的方向画一直线，并向外延长，弦AC与半径OA的夹角 /4．直线上有一任意点，设该点与A点的距离为x，求从A沿直线到该点的电动势的大小．

【解析】1．任意点在磁场区域内：令P为任意点（1

）x ，在图中连直线OA与OP. 取闭合回路APOA，可得回路电动势E1 EAP EPO EOA，式中EAP，EPO，EOA分别为从A到P、从

P到O、从O到A的电动势. 由前面的分析可知EPO 0，EOA 0，故 EAP E1 （1）

令 AOP的面积为S1，此面积上磁通量 1 BS1，由电磁感应定律，回路的电动势大小为 E1

B

S1

t t

根据题给的条件有 E1 S1k （2）

1xRsin （3） 2 （4） 由（1）、（2）、（3）式可得沿AP线段的电动势大小为

EAP 由可知

S1

2．任意点在磁场区域外：令Q

为任意点，x . 在图中连OA、OQ. 取闭合回路AQOA，设回路中电动势为E2，根据类似上面的讨论有 EAQ E2 （5）

对于回路AQOA，回路中磁通量等于回路所包围的磁场区的面积的磁通量，此面积为S2，通过它的磁通量 2 BS2. 根据电磁感应定律可知回路中电动势的大小 E2 S2k （6） 在图中连OC，令 COQ ，则 OQC ，于是

S2 AOC的面积 扇形OCD的面积1 (Rsin ) 2Rcos R2

22 1

R2(sin2 )2

当 /4时，S2

12

R(1 )， 2

OCQ中有

R

sin[( /4) ]

Rsin (x )sin(

4

)

(x sin )

(R

tan

x x

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12R(1 （7） 2由（5）（6）（7）式可得沿AQ线的电动势的大小

为

于是得

S2

kR2 （8） EAQ (1 arc)

2【例6】 将一个半径a、电阻为r的圆形导线，接上一个电阻为R

的电压表后按图 (a)、(b)两种方式放在磁场中，连接电压表的导线电阻可忽略，(a)、(b)中的圆心角都是θ. 均匀变化的磁

场垂直于圆面，变化率 B/ t k. 试问(a)、(b)中电压表的

读数各为多少？ 【提示】 有限电阻的电压表读数为内阻乘以流过电压表的电流.设其读数为V，对含表回路列基尔霍尔方程即可，不用计算局部电动势与含表路的电流. 只需要对整个回路计算电动势，并且结算有电流部分的阻降即可

第一种电路电压表的读数为零. 第二种V 2 2a2ksin / 2 r 4 2

R

【例7】 （预热超难理解的下一题）在一半径为R的无限长密绕螺线管中有一均匀磁场，磁感应强度随时间线性变化(即ΔB/Δt=k). 现用单位长度电阻为r的导体线弯成半径为a的圆环，并把此环与螺线管同心放置（如图）. (例题1)现在电路中接入一个体积可忽略，内阻无限大的电压表.

（1） a<R，电压表从AC点引出并如图（a）放置，求电压表度数并与例2的结果作对比） （2） a>R，电压表从AC点引出并如图（b）放置.

（a） （b）

【解析】注意电压表显示的其实是DF两点的电压 （1） 其等效电路如图：

示数

= = + + = +

2 =2

（2） 同理

2 =

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