2015年摇篮杯数学试卷(1)

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2015年摇篮杯数学试卷(1)

2015年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

2015年4月

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1．已知全集U?Z，则(CUA)?B是（▲） A?{x|x?2n,n?Z},B?{x|x?3n,n?Z}，

A.{x|?x?6n?1,n?Z} B.{x|x?6n?2,n?Z}

C.{x|x?6n?3,n?Z} D.{x|?3n?1,n?Z}

2.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度是4，则扇形的周长为（▲）

A.6 B.6 C.10 D.12

3. 函数y?2x4?x2的值域是（▲）

A.[0,4] B.[?4,4] C.[?2,2] D.[0,2]

4．设f(x)?x?1,记f1(x)?f(x)，若fn?1(x)?f(fn(x))，则f2015(x)?（▲） x?1

x?11?x1 C. D. x?11?xxA．x B.?

5．化简cos2?

4sin2(??)??)44?（▲）

A.cos? B.sin? C.1 D.1 2

6.已知与均为单位向量，其夹角为 .若|?|?1，则的取值范围为（▲） A.0? ??

3 B. ?

3? ??

2 C. ?

3? ?? D. ?

3? ??

7．设x?(?1,0)，以下三个数?1?cos(sin?x),?2?sin(cos?x),?3?cos(x?1)?的大2

小关系是（▲）

A.?3??2??1 B.?1??3??2 C.?3??1??2 D.?2??3??1 1

33228．若对任意的实数m,n，有m?n?log3(m??m)?log3(n??n)成立，则

有（▲）

A. m?n?0 B. m?n?0

C.m?n?0 D.m?n?0

9．方程1log2x?sin(4?x)的实根个数是（▲） 4

A.62 B.63 C.64 D.65

10．设方程x?3x?1?0的三个实根是x1、x2、x3(x1?x2?x3).则代数式 3

(x3?x2)(x3?x2)?(x3?x1)的值为（▲）

A. ?2 B.?1 C.1 D.0

二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.

11.函数y?2?x的定义域为 ▲ . log2x

12.若log3(log9x)?log9(log3x)，则x? ▲ .

13. 不等式|x|3?2x2?5|x|?6?0的解集是 ▲ .

14.已知f(x)是偶函数，且f(x)在区间[0,??)上是增函数，若f(ax?1)?f(x?2)在区间[,1]上恒成立，则实数a的取值范围是 ▲ . 1

(a2?a)x?1(a?R,a?0)15. 定义区间[x1,x2]的长度为x2?x1(x2?x1)，已知函数f(x)?a2x

的定义域与值域都是[m,n](n?m)，则区间[m,n]取最大长度值为 ▲ .

16.若?ABC的重心为G，AB?2,AC?3,BC?4，动点P满足GP?xGA?yGB?zGC（0?x,y,z?1），则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 ▲ .

17.已知函数f(x)?x2?3|x?a|，若[f(x)?b]2?4对任意x?[?1,1]恒成立，则3a?b的取值集合 ▲ .

三、解答题：本大题共3小题，共51分．

18. （本题满分15分）已知函数f(x)?2sin?xcos?x?23cos2?x?3(??0)的最小正周期为?.

（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）将函数f(x)的图像向左平移?个单位，再向上平移1个单位，得到函数y?g(x)的6

图像.若y?g(x)在[0,b](b?0)上至少有20个零点，求b的最小值.

19. （本题满分18分）已知O为坐标原点，?(a,0),?(0,a),?(3,4). （I）当a?[?4,0]时，求|??|的取值范围；

（II）若?(x,y)，记M?max{||,||,||}，当a取遍一切实数时，求M的

最小值.

20. （本题满分18分）

已知函数f(x)?ax2?bx?c(a,b,c?R)，g(x)?dx2?ex?f(d,e,f?R). （I）当a?1时，对任意实数x均有|f(x)|?|2x2?3x?1|，求函数f(x)的解析式；（II）若f(x)?|g(x)|对任意实数x成立，求证：4ac?b2?|4df?e2|.

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