2014年强化班讲义一元函数微积分练习参考解答

2014年强化班讲义一元函数微积分练习参考解答

第一章 函数、极限与连续

练习1

1.解：当x?0时，f(x)?1?0，从而f[f(x)]??1； 当x?0时，f(0)??1?0，从而f[f(x)]?1；

当x?0时，f(x)??1?0，从而f[f(x)]?1。

于是f[f(x)]????1,x?0,

?1,x?0.

2.因为对任意大的正数M，总存在点xM?1

2?(0,1)，使得 ?2?([M]?1)

f(xM)?

故f(x)??2?2?([M]?1)?M， 11sin在区间(0,1)上是无界函数。 xx

练习2

1.解：法1（排除法，特例法）

反例1：xn?(?1),yn?0，排除（A）;

反例2：xn?0,yn?n，排除（B）；

反例3：xn?0,yn?(?1)，排除（C）。

法2（直接法）limyn?limxnyn?n??n??nn1?0?0?0。 xn

练习3

1x2)2e?11.解：原式?lim??e?2。 x??x2e(1?2)x

x?ax?ax?a2sincossin?lim?limcosx?a?cosa。 2.解：原式?limx?ax?ax?ax?a2

2(1?

练习4

1.解：由等价无穷小和重要极限可得 1xsinx1原式?lim2?。 x?0x2

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2.limtanx?1?x2

2ln(2?x)?limsinx?1?xln[1?(1?x)]1?x2?1?lim?， x?1(x?1)?2?sin(x?1)?22

?原式?e?。

练习5

1.解：有理化可得

原式?x?0tanx?2lim[?1。 x?0x1

x2.解：利用恒等变形及连续性（lnx在x?e处）可得 原式?limln(1?)?lne?1。 x???x

练习6

1.解：n?lim?0，?

由无穷小性质可得，?0。 sinn?

1，limn??n?1n??n??1?n

?1arctanxarctanx?，lim?0lim?0。 ，?22x??x??21?x1?x?132.解：

练习7

1.解：设a?max{ai}，则

1?i?k

a?(a?a?n

1n2?a)?

，?1，?由夹挤准则可得：原式?max{ai}。 n1?i?k1nnk

111?1?[]?， xxx

11?①当x?0时，1?x?x[]?1，而lim?(1?x)?1，由夹逼准则可得lim?x[]?1； x?0x?0xx11(1?x)?1limx[]?1。 ②当x?0时，1?x?x[]?1，而lim，由夹逼准则可得??x?0x?0xx1综上可得，limx[]?1。 x?0x2.解：法1（夹挤准则）

法2（有界函数与无穷小积）

11111111x[]?x([]??)?x([]?)?1，其中[]??1（有界函数）， xxxxxxxx

111?limx[]?limx([]?)?1?0?1?1。 x?0xx?0xx

练习8

1. 解：①

由xn?1?xn??，知xn?1?xn与xn?xn?1同号，以此类推，xn?1?

xn与x2?x1??0同号，?{xn}单调增加。

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②x1??2,x2??

2,，一般地，,xn? ??2，?{xn}有上界。

于是，由单调有界准则可得：{xn}收敛。

③设limxn?a，则在关系式

xn?n??a?a?2。 故limxn?2。 n??

练习9

解：

x?0limf(x)?limarctan??x?01?1???，limf(x)?limarctan?， ??x?0x?0x2x2

1?limf(x)?limarctan不存在。 x?

0x?0x

练习10

1.解：12ax32?lim??a?1，?a??。 x?0x?023?x2

22.解：x3?ax?b32lim(2x?3x?1)?0， lim3?c，且x??1x??12x?3x2?1

?lim(x3?ax?b)??1?a?b?0。故b?1?a。 x??1

x3?ax?1?ax3?ax?1?a?lim ?c?limx??12x3?3x2?1x??12x3?3x2?1

(x?1)(x2?x?1?a)x2?x?1?a， ?lim?limx??1x??1(x?1)(2x?1)(x?1)2(2x?1)

又因为lim(x?1)(2x?1)?0，lim(x?x?1?a)?3?a?0，解得a??3，b??2。 x??12x??1

x2?x?2(x?1)(x?2)x?2从而，c?lim?lim?lim?1。 x??1(x?1)(2x?1)x??1(x?1)(2x?

1)x??12x?1

练习11

1.解：函数是初等函数，其间断点是其分母为零的点：x?0,?1,1。

x2?x1limf(x)?lim??lim??1， 2x?0?x?0??x(x?1)x?0?x?1

x2?x1limf(x)?lim?lim?1， 2x?0?x?0?x(x?1)x?0?x?1

?x?0为函数的第一类间断点，且为跳跃间断点。

x2?x1limf(x)?lim??lim??， x??1x??1?x(x2?1)x??1x?1

?x??1为函数的第二类间断点，且为无穷间断点。

x2?x11， limf(x)?lim?lim?x?1x?1x(x2?1)x?1x?12

?x?1为函数的第一类间断点，且为可去间断点。

2.答案：选（B）。 解：?0,?limx2n??1,n??????,?1?x,??0,x?1, ?f(x)???1,x?1,?0,?x?1,x?1,x??1,x?1,x?1

进而可知x?1为跳跃间断点，所以选（B）。

练习12 证：由题意知f(x)在[x1,xn]上连续，?f(x)在[x1,xn]上存在最大值M与最小值m。

m?f(xi)?M(i?1,2,1n

,n)，?nm??f(xi)?nM，即m??f(xi)?M。 ni?1i?1n

1n

由介值定理可得：存在??[x1,xn]，使得f(?)??f(xi)。 ni?1

2.证：设f(x)?4x4?4x?1，则f(x)在(??,??)内连续，注意到

11f(?1)?9?0，f(1)?1?0，f()??2?1?0， 24

114故由零点定理知：方程在(?1,)，(,1)内各至少存在一个根，即方程4x?4x?1?0至少有两个22

不同的实根。

练习13

1.解：① x3x3

，?limy??，limy??，故曲线有垂直渐近线y?2?x??2x?1x?x?2(x?1)(x?2)

x?1和x??2。

② yx2

lim?lim2?1?k， x??xx??x?x?2

x3?x2?2xlim(y?x)?lim(2?x)?lim2??1?b， x??x??x?x?2x??x?x?2

?曲线有斜渐近线y?x?1。

2.

解：limy??x??x??x?0，

?y?0为水平渐近线。

第二章 一元函数微分学

练习1

1.解：f?(x)存在， 11f(x?)?f(x)f(x)?f(x?)11]?2f?(x)。 ??limn[f(x?)?f(x?)]?lim[n??n??11nn

nn

2.解：①确定不可导点范围

f(x)?x?(x?2)2(x?3)2x?3，?f(x)的可能不可导点为x?1和x?3。 ② 判断点x?1处的可导性 记?1(x)?(x?2)(x?3)x?3，则?1(x)连续，且?1(1)?0，所以 22

f(x)?x?1(x?2)2(x?3)2x?3?x??1(x)在x?1处不可导。 ③判断点x?3处的可导性 记?2(x)?x?(x?2)(x?3)，则?2(x)连续，且?2(3)?0，所以 22

f(x)?x?(x?2)2(x?3)2x?3?x?3?2(x)在x?3处可导。 练习2

1.解：由导数定义可得

f?(2)?limx?2f(x)?f(2)sin(x?2)?lim?x?。 x?2x?2x?2

2.解：由导数定义及复合函数求导法则可得

1lnf(x0?)?lnf(x0)lim?[lnf(x)]?n??n

1lnf(x0?)?lnf(x0)nlimn??

nf?(x0)f(x0)x?x0?f?(x0)， f(x0)?原式?e

练习3

解：y???e。 2x)?，

y???2x?。