数集

上传者：刘红俊
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上传时间：2015-05-05
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数集

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数集/数域的扩充历史

*综述

*自然数的产生

*负数的引入

*无理数的引入

*习题

综述

数学的萌芽阶段是算术阶段，这一阶段是从自然数与自然数的四则基本运算（加减乘

除）开始的.以后随着对数学更深入的研究，人类对数的认识从最初的自然数逐步扩充到有理数、实数、复数。

这一过程很不平坦，这是因为随着生产水平的提高，主要是在求解方程的过程中，人们

发原有的四则运算已经无法解决一些生活中的问题，于是引入了新的运算（比如说平方与开平方，对数与指数等），当引入这些运算的时候，就产生了新问题，其中最重要的两个问题，人们一开始很难接受，但以后伴随着人们对数的认识更进一步，对数的范围作了扩充，对这两个问题才有了新的解答。这两个问题是：

（1）√2 代表什么数？

这问题导致了人们认识到无理数的存在并把数的范围从有理数扩充到实数

（2） √-1有什么意义？

这问题导致了人们认识到虚数的存在意义并把数的范围从实数扩充到复数今天我们这里谈的是从自然数扩充到实数的过程，因为在初中阶段讨论的数与方程的解全是在实数范围内！

（一）自然数与分数

人类一开始认识的数，是自然数（包括0和正整数），这是由于人们在生活中，经常

需要对一些对象（比如牲畜）计量，确定这些对象的数目。那时候人们对数学的认识就象小

时候我们学习数苹果一样。

在对对象计数的过程中，人们发明了加减运算，以确定对象总数的增减。这是一级运算。随后又发明了乘除运算，这是二级运算，在发明除法运算的时候，就产生了分数。而且在一开始的时候人们很容易地接受了0、正整数与正分数。

这也正是小学阶段我们接触的关于数与数的运算最基本的内容。其实我们那时候接触的只是正有理数和0，他们可以表示为一个既约分数n/m(m≠0，m,n互质即m、n无公因数）

这里我们不妨从有理数英文单词rational的词义出探究这个词。rational其实是从词根ratio（比例）派生出来的。如果我们去查一些词典（比如说：网络词典www.iciba. com，并选择英英释义）我们发现词典给出的一个解释是：capable of being expressed as a quotient of two integers.(能够表达为两个整数之商)

（至于为什么被翻译成有理数，而不翻译成“比例数”更为恰当，那是因为中文翻译是间接采用了原来日文的翻译，但原日文误把rational的一个词义“理性、有理”翻译过来了）。

（二）负数的引入

人类一开始使用0和正有理数表示“无”和“有多少”的概念，但随着社会的进一步发展，人们发现必须引入一个“相反”或“相对”的概念描述生活中的一些问题。

比如：甲有两元钱，可以用甲：+2元来表示，但乙欠别人两元钱如何表示呢？这时候就引入“负数”的概念来表示“相反”的意思，并用”─”表示.于是,乙欠别人两元就表达成乙：-2元。

金融危机时的一个流行词汇“负资产“最能表达负数的这一概念，这时候已经表明资产已经不是“有无资产“的问题，而是”欠别人多少资产“的问题。

这时候，人类已经把数扩充到：正有理数、0、负有理数的范围。在这个过程中，一切都没有什么大的争议。

三：无理数的引入

人类在相当长的历史阶段里认为有理数足够代表所有的数，并一直把这当作权威。但后来古希腊毕达哥拉斯学派的一位成员发现了一个问题，这个问题直接导致了数学史上的第一次危机。

古希腊毕达哥拉斯（公元前500年）是人类数学史上一个非常重要的流派，他们同时

研究算术、几何、天文、音乐，成为“四艺“。并树立起用算术的观点来分析其他三艺，提出了”万物皆数“的观念-----即宇宙间的一切物体都可以用整数与整数之比(即分数n/m,m≠ 0)来衡量。从这一点来说，他说的“数”其实是我们今天谈的有理数.

但是，毕达哥拉斯学派对数的这一认识却与他们在几何学上的一个异常重要的发现----- 毕达哥拉斯定理（也就是中国古代的勾股定理）相悖（bei）的。

毕达哥拉斯在研究直角三角形的时候，发现并证明了直角三角形一个重要的性质：直角三角形斜边的平方和两条直角边平方之和相等（如下图所示）