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易拉罐建模

上传者:刘沁
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上传时间:2015-05-06
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易拉罐建模

易拉罐形状和尺寸的最优设计

摘要

我们都见过日常身活中的罐装可乐,他们的形状大小都是差不多,大部分都是355ml,为什么要设计成这个差不多样子,这不是偶然,商家要获取利益,是不是这样设计能够节省成本,所以应该是一种最有设计,之后通过数学建模去探究问题,易拉罐形状和尺寸的最优设计.

关键词 最优设计 材料减少 lingo

第一问: 取一个饮料量为355毫升的易拉罐,例如355毫升的可口可乐饮料罐,测量你们认为验证模型所需要的数据,例如易拉罐各部分的直径、高度,厚度等,并把数据列表加以说明;如果数据不是你们自己测量得到的,那么你们必须注明出处。

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第二问:设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计?其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸,例如说,半径和高之比,等等。

1 问题重述

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来,这并非偶然,这应该是某种意义下的最优设计。当然,对于单个的易拉罐来说,这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的,但是如果是生产几亿,甚至几十亿个易拉罐的话,可以节约的钱就很可观了。

为了实现可持续的经济发展,解决能源危机和人类正常发展,我们要提升利用资源的效率,合理的、科学的对我们现有的资源进行生产配置,实现资源的最优化利用.

所以思路是一个饮料量为355毫升的易拉罐,找出易拉罐的最优设计。假设它是一个正圆柱体,在不考虑易拉罐受外界影响下,求在正圆柱体的表面积最小时,底半径r与高度h的比值。

2 问题分析

假设最优化条件为保证容积的情况下,使制作易拉罐所需材料最省(表面积为最小)。在表面积为最小时,设圆柱形的体积V为常数,求底半径r与高度h的比值,如果能求出一定比例,就能找出模型最优设计。

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3 模型假设

假设

(1)假设易拉罐是正圆柱体

(2)假设易拉罐整体厚度均相同

4 符号说明

R 易拉罐内半径为

VH 高为H? ?R2

a 厚度

V 体积为

r和h是自变量

S所用材料的面积是因变量 S?2??R?a??a???R?a??H??R2H ?2?aR2?4?a2R?2?a3?2?HRa??Ha3 V是固定参数 V??R2H

22

5模型的建立与求解

(S是目标函数minS?r,h ?R?0,H?0)

约束条件g?R,H??0

V是已知的,即要在体积一定的条件下求S的最小值时,r和h的取值是多少

因为按照实际测量数据可知ar,所以带a2,a3的项可以忽略,且H?

2aV RV,2?R则有 S?R,H?R???2?aR2?

求S?r,h?r??的最小值,令其导数为零,即S??R,H?R???0,解得临界点为

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R?

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,则H?V?2?22R 因为S???R??4a??

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优解

4aV??S?12a??0,所以当R:H=1:2时,是S最,则3R

第三问:设易拉罐的中心纵断面如下图所示,即上面部分是一个正圆台,下面部分是一个正圆柱体。

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什么是它的最优设计?其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

1问题重述

通常,在现实生活中,本文所见地易拉罐都不是单纯的正圆柱体,一般都是混合的三维图形。由于实际生活中,易拉罐是受到外力的影响(如开盖时的拉力,堆放时的压力等等),因此,本文依照生活中的易拉罐,设易拉罐的中心纵断面如图1所示,即上面部分是一个正圆台,下面部分是一个正圆柱体。通过计算和测量,在理论的基础上,建立易拉罐最优设计的模型。

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图1

2 问题分析

假设最优化条件为保证容积的情况下,使制作易拉罐所需材料最省(表面积为最小)。由于易拉罐形状不是单纯的正圆柱体,所以本文建立模型时,先假设易拉罐上部分是一个正圆台,下部分是一个正圆柱体。然后,考虑易拉罐的厚度,在厚度一致时,利用lingo软件,计算出模型的最优解;通过本文观察发现易拉罐顶盖的厚度是罐身的三倍,所以,假设另一种模型当易拉罐顶盖、底盖厚度为a,其余部分为b,且a:b=3:1,体积V=355ml时,同样利用lingo软件,计算出模型的最优解。

3模型假设

假设(1)易拉罐上部分是一个正圆台,下部分是一个正圆柱体

假设(2)易拉罐整体厚度均相同

4 符号说明

R易拉罐顶盖、底部半径,

H正圆柱体高为

h正圆台高为

V体积为

其中R,r,H,h是自变量

所用材料的体积S是因变量:S???R2?r2??2?RH???

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R?r 1而V是固定参数:V??R2H???R2?Rr?r2?h 3

1设约束条件函数g?R,r,H,h???R2H???R2?Rr?r2?h?V 3

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