竞赛专题-分式

初中数学：分式

分式的基本概念，基本性质，运算法则；

部分分式：把一个分式写成几个简单分式的代数和，称为将分式化为部分分式，它是分式运算的常用技巧。分式运算的技巧还有：换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。

解数学题是运用已知条件去探求未知结论的一个过程。如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对已知条件的运用有下列途径：

(1) 直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4) 挖掘隐含条件．

在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能.

一、基本概念与计算：

例1、要使分式1有意义，则x的取值范围是 ． 1?x

x

例2、 已知112x?5xy?2y??5,则?_______xyx?2xy?y

已知a,b,c?0,且a?b?c?0,

例3、 111111则a(+)+b(+)+c(+)的值是_____bccaab

例4、已知a,b为整数，且满足(111??1112)?(?)?=，1111ab??23 2ab1求a+b的值.

例5、方程x?

例6、已知a,b,c均为实数，且

11?4的一个根是4,则它的另一个根是_________ x?225?7xabc???，求abc的值。 2(x?1)(x?2)x?1x?1x?2

例7、 方程(x2?2x?1)?5x?1?6?0的所有根的和是( )

例8 方程

例9、解方程：

练习一：

1．x取______________值时, 2?111+? 有( )组正整数解. 6xy13?2x17?2x19?2x11?2x??? 11?2x15?2x17?2x9?2x12?x?2

2有意义. 2． 当a??1,时，方程(a?1)x?(a?1)x?(a?1)?0的根的情况是( )

A 两负根 B 一正一负,且负根的绝对值大

C一正一负,且正根的绝对值大 D没有实数根 32

(a?4)3?a(4?a)2?22am?1?88m?13、若分式 的值与 a 的取值无关，求m的值。 2a2?5a?12

4、若a、b、c满足a+b+c=0，abc>0，且x?abc??， abc

111111y=a(?)?b(?)?c(?)，则x?2y?3xy bccaab

二、有条件的分式化简与求值

既要瞄准目标。又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:

1．恰当引入参数；

2．取倒数或利用倒数关系；

3．利用比例性质等．

例1、若abcda?b?c?d的值是 ． ???，则bcdaa?b?c?d

212?1，b??1，那么c?等于( ) cba例2、如果a?

A．1 B．2 C．3 D．4

x4?6x3?2x2?18x?23的值为_________ 例3

、已知2x?8x?15

思路点拨：平方升幂，将无理式转为有理式；整体代入。

例4、已知xyz?1，x?y?z?2，x2?y2?z2?16，求代数式111??的值． xy?2zyz?2xzx?2y

思路点拨 直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2－x－y，x=2－y－z，y＝2－x－z，从变形分母入手．

例5. 若关于x的方程

例6、 设a整数，若存在整数b 和c，使得(x?a)(x?15)?25?(x?b)(x?c) 成立，求 a可取的值。 思路点拨：转换问题，变换主元，分离参数

练习二：

1. 已知xx2?x?1?7，则x2

x4?x2?12kxkx?1?2?只有一个解，试求k 的值与方程的解。 x?1x?xx．

2. 已知若实数x,y,z满足x?1117?4,y??1,z??,则xyz?_____yzx3

若xi(i?1,2,6)都是正数，且

1x2x3xx4x56?1,x1x1x3xxxx4x56?2,x23．

x1x2xxxx3x46?6,x5

1?ab??a?b3?1?bc? 4. 解方程??b?c4

?ca?1

??c?a5xx2x456xxxx1x2356?3,?4,x3x4 xx12x345?9,x6则x1x2x3x4x5x6?__________

5.解方程

作业：

1．设轮船在静水中速度为v，该船在流水(速度为u<v)中从上游A驶往下游B，再返回A，所用时间为T，假设u=0，即河流改为静水，该船从A至B再返回B，所用时间为t， 则( )

A．T=t B．T<t C．T>t D．不能确定T、t 的大小关系

2. 已知—列数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，且a1=8，a7=5832，

则a5为（ ）

A．648 B． 832 C．1168 D．1944

2(x?2)4?(x?1)2?1x?5x?1991?03.已知，求代数式的值为。 (x?1)(x?2)11114????x2?xx2?3x?2x2?5x?6x2?7x?1221 a1a2a3a4a5a6?????a2a3a4a5a6a7

24.化简，求值：a?2a(a?2?a?1

a2?4a?4)?a?4

a?2，其中a满足a2?2a?1?0 .

5.已知a2?a?1?0，且2a4?3xa2?2

a3?2xa2?a??93，求x的值． 112