方差和标准差 教学设计(一)

方差和标准差 教学设计（一）

教学设计思想

本节内容一共需要二个课时来学习，第一课时通过观察与思考使学生直观感受甲、乙两人的射击平均成绩不分高低，但射击成绩波动大小不同，从而引出方差和标准差的概念。在教师引导下学生探究出如何刻画每个数据与平均数的偏差，如何表示所有数据的总偏差。第二课时提供了三个实际情景，通过对问题的分析和探究，使学生进一步理解方差的意义。 教学目标

知识与技能

说出刻画数据离散程度的三个量——极差、方差、标准差——的概念，能借助计算器求出相应方差和标准差。

能在具体情境中用方差、标准差刻画一组数据的波动大小，并能解决相应的实际问题。 过程与方法

经历数据的收集与整理的过程，根据公式求一组数据的方差和标准差。

情感、态度、价值观

体会方差、标准差是反映一组数据波动大小的量，在数据的整理与计算的过程中养成耐心、细致、认真的习惯，学会把知识应用于生活。

教学重难点

重点：计算一组数据的方差概念的理解。

难点：对方差的意义理解不透，有些问题弄不清该用方差衡量，还是该用平均数衡量。 解决办法：通过学习明白对于一组数据来说，我们要衡量这组数据的集中趋势，可以通过平均数、众数和中位数这三个统计量来分析。如果要衡量这组数据中的离散趋势，也就要研究它的波动情况，就需要利用方差或标准差这两个统计量来衡量。

教学方法

合作探究，小组讨论

教学用具

多媒体

课时安排

2课时

教学过程设计

第一课时

我们常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平”。但在评价选手的射击水平、机器加工零件的精度、手表的日走时误差时，只用平均数是不够的，有时还需要用一个新的数来

刻画一组数据的波动情况。

（一）观察与思考

甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛，每人各射10发子弹，成绩如下表：

将数据用散点图表示，如图26—3。

1.观察图形，从图中能估计甲和乙射击成绩的平均水平吗?

2.哪组数据围绕其平均值的波动较大?波动大小反映了什么?

3.谁的射击成绩比较稳定？

注：观察两名业余射击选手比赛的成绩的散点图，直观感受两人成绩水平的高低及稳定性

1.大约都是7环左右。

2.甲选手的波动较大。波动大意味着成绩不稳定。

3.从图上观察，乙选手的成绩波动较小，比甲选手的成绩更稳定。

要比较甲和乙的射击水平，自然想到比较其射击成绩的平均数或中位数，但是，甲和乙射击成绩的平均数和中位数都是7(环)。两人相比，乙的成绩大多集中在7环附近，而甲的成绩相对于平均数的波动较大。

如果一组数据与其平均数的偏差(偏离平均数的大小)较小，我们就说这组数据比较稳定。

事实上，我们在研究问题时，仅考虑数据的“平均水平”是不够的，还需要关注数据的离散程度，即它们与平均数的偏差大小。

设是n个数据x1，?，xn的平均数，各个数据与平均数之差的平方的平均数，叫做这

n个数据的方差(variance)，用“s”表示。即 2

1s2?[(x1?2?(x2?2?...?(xn?2] n

称方差的算术平方根

s?为这组数据的标准差(standard deviation)。

方差和标准差都是刻画数据离散程度的统计量。对平均数相等的两组数据，一般方差较小的这组数据相对于平均数的离散程度较小。

注：这里应强调，比较两组数据的波动大小时，以两组数据的平均数相等或比较接近为前提。

例如，甲和乙射击成绩的平均数都是7，方差分别为

2s甲?1222222[4?7）?（5?7）?2（6?7）?3（7?7）?（8?7）?2（10?7）]?3.4 10

122222[5?7）?2（6?7）?4（7?7）?2（8?7）?（9?7）]?1.2 102s乙?

22由于s乙，说明乙的射击成绩比甲稳定。 ?s甲

一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。极差也是刻画数据离散程度的一个统计量。如：

甲射击成绩的极差为10－4＝6(环)。

乙射击成绩的极差为9－5＝4(环)。

极差反映数据的波动范围，它只用到数据的两个极端值，没有利用数据的全部信息。因此，在数学上常用方差刻画数据的离散程度。

（二）例题

例 在某场女排比赛的一个时段里，甲、乙两队场上各自6名球员的身高分别如下；(单位，cm)

甲队：166 178 181 175 186 182

乙队：175 176 172 183 185 177

用计算器计算此时每队场上6名球员身高的平均数和方差，并说明这一时段里哪个队场上球员的身高更整齐些。

解：(1)进入统计状态，选择一元统计。

(2)输入球员的身高数据。

注：输人数据的方式与计算平均数时输入数据的方式相同。

(3)显示结果。按STATVAR键后屏幕显示?x。n表示数据的个数，表

2示平均数，?x表示标准差，利用?或?选择?x，再按键x ENTER，屏幕自动

显示方差的值。

计算结果见下表：(方差精确到0.01)

22这一时段里，两队场上球员平均身高相同，但s甲，所以乙队场上球员的身高比较?s乙

整齐。

（三）练 习

两个小组各5名同学目测同一本画册的宽度，目测误差的数据如下：(单位：cm) 第一组：－2 －1 0 1 2

第二组：－3 －2 0 2 3

(1)从直观上看，哪组同学目测得较准确?

(2)分别计算两组数据的极差和方差，进行比较，验证第(1)题的结论。

答案

(1)第一组同学目测较准确。

22(2)两组数据的极差分别是4cm和6cm，方差分别为s1?2,s2?5.2

第一组的极差和方差都较小。

（四）小结

引导学生总结本节的主要知识点。

（五）板书设计

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第二课时

张老师乘公交车上班，从家到学校有A，B两条路线可选择。他做了一番实验。第一周，星期一、星期三、星期五选A路线，星期二、星期四选B路线，每天两趟；第二周交换。记录所用时间如下表：

（一）一起探究

根据两条路线所花时间绘制的折线统计图如图26—4所示。

1.观察图26—4，请说明选择哪条路线乘车平均用时较少，选择哪条路线乘车用时的波动较大。

2.用计算器分别计算选择A，B两条路线乘车所用时间的平均数和方差。

3.如果上班路上的可用时间只有40min，乘车应选择哪条路线?

4.如果路上可用时间为50min，乘车应选择哪条路线?

注：这是一个非常现实的问题，综合性较强。

1.从图26—4看出，选择A路线平均用时较少，且所用时间的波动性也大。

2.A?42(min),sA?B?46(min),sB?7.8

3.应选择A路线。

4.应选择B路线。

经计算和分析得到：选择路线A乘车平均用时较少，但数据的离散程度大，有三次用时超过50min，说明时常有堵车现象发生；选择路线B乘车平均用时较多，但用时比较稳定，22