中学数学竞赛讲座及练习第34讲集合与简易逻辑

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中学数学竞赛讲座及练习第34讲集合与简易逻辑

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第三十四讲* 集合与简易逻辑

我们考察某些事物的时候，常常要考虑由这些事物组成的群体，我们把这个群体叫作集合．组成某个集合的事物，叫作这个集合的元素．通常用大写字母A，B，C?等表示集合，小写字母a，b，c，?等表示元素．如果m是集合A的元素，就说m属于A，记作m∈A．如果n

(i)你的家庭中所有成员组成一个集合，你和你的家庭中的其他各个成员都是这个集合中的元素．

(ii)自然数全体1，2，3，?组成一个集合( (iii)如果A，B是平面上两个不同的点，那么A，B合，这条直线上每个点都是这个集合的元素．总之，集合是数学中一个最基本、合的基本知识．

1．集合的描述方法

(1)列举法

一个最简单的描述方法就是把它所含的每个元素都列举出来，用列举法表示集合，通常是将这个集合的每个元素一一填写在｛｝中，每个元素之间用逗点隔开．填写集合的元素时，与元素的排列次序无关．例如：

(i)由a，b，c，d，e五个小写字母组成的集合A，记作

A=｛a，b，c，d，e｝，

也可记作

A=｛b，a，c，d，e)．

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(ii)由小于40的质数组成的集合B，记作

B=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37｝．

(iii)平方等于1的有理数集合C，记作

C=｛1，-1｝．

(iv)三条直线l1，l2，l3组成的集合D，记作

D=｛l1，l2，l3｝．

(2)特征性质描述法

所谓特征性质是指集合中元素的特征性质，(ii) 例如，集合=｛1,-1

｛x│x2=1｝，

或者

A=｛x││x│=1｝．

全体偶数组成的集合B，用特征性质描述法表示就是

B=｛x│x是能被2整除的整数｝，

或者

B=｛2n│n是整数｝．

全体奇数组成的集合C，用特征性质描述法表示就是

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C=｛x│x是不能被2整除的整数｝，

或者

C=｛2n＋1│n是整数｝，

C=｛2n-1│n是整数｝．

一般地，用特征性质α表示集合A的形式是：

A=｛x│x具有性质α｝．

2．集合之间的关系和运算

(1)包含与子集

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(i)你班上的同学的集合和你学校的同学的集合之间的关系是：前者是后者的子集，后者包含前者．

(ii)设集合

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例1 设A=｛1，2，3，4｝，试写出A的所有子集．

｛1，3｝，｛1，4｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛3，42，3｝，｛1，2，4｝，｛2，3，4｝，｛1，3，4｝，｛1，2，3，4 (2)交集运算

对于给定的集合A，B，A与B的交集．我们用A∩B表示A，B的交集(图

(i)如图2-89，设

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A=｛x│x是12的正因数｝，

B=｛x│5＜x＜13，x是整数｝，

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则

A=｛1，2，3，4，6，12｝，B=｛6，7，8，9，10，11，12｝．

所以 A∩B=｛6，12｝．

(ii)设l1，l2是平面上两条不同的直线，则l1∩l2就是由它们的交点组成的集合．如果l1与l2相交于一点P，则l1∩l2=｛P｝(图2-90)；

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(3)并集运算

对于给定的两个集合A，BA，B的并集，我们用符号A∪B表示(图2-92)．例如

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(i)设M，N分别表示你班上男生、女生的集合，那么M∪N就是你班上同学的集合． (ii)设

A=｛1，3，5，7，9｝，B=｛2，3，4，5，6｝，

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