一道竞赛题与两道改编题

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一道竞赛题与两道改编题

６０

中学数学教学２０１４年第６期

一道竞赛题与两道改编题

陕西省武功县教育局教研室李歆

（邮编：７１２２００）

第２０届伊朗数学奥林匹克中，有如下一道经典的不等式题：

原题已知口、６、Ｃ为正实数，口２＋ｂ２＋ｃ２＋

ａｂｃ一４，求证：ｎ＋ｂ＋Ｃ≤３．

文［１］、Ｅ２］、［３－１分别从不同角度对该题给出了证明与拓展，笔者读后很受启发，思考之余突发奇想，如果将该题由三元退化到二元，同时又不降低问题的难度，那么会是什么结果呢？

经过探究，笔者用√万和ａ—－Ｆｔ－ｂ分别替换ｆ

之后，再适当加以改编，就得到了下面两道改编题：

改编题１已知关于ｔ的方程ｔ２一∥＋ｇ一０

有两个正实根，且户２一ｑ＋ｑ√虿一４，求户＋石的

取值范围．

解

设方程ｔ２一印十ｑ—ｏ的两个根为ｔｔ，

ｔ２，则ｔｌ＞０，ｔ２＞０．由韦达定理，得ｔ１＋ｔ２一声

＞０，ｔｌｔ２一ｑ＞０，

令ｔ。一２托歹，ｔ。一２７－Ｚ，ｙ’，其中ｚ，ｙ∈

Ｒ＋，则题设条件变为

ｚ

ｏｚ》－Ｆ了ｑｚ了七ｘｙ

Ｊｒ

２ｘｙ

ｏｚ》一、

甘焉等＋南＋南＿１，如ｖ＋１

ｙ十ｌ

ｚ十ｌ

由柯西不等式，得

，、（盈±迈±正２：

￣／删＋１＋ｙ＋１＋ｚ＋１

整理得２Ｚ矿＋２Ｚ万＋２以万≤３，

即ｔ１＋ｔ２＋√￡，￡２≤３，亦即夕＋而≤３，又知ｐ＋√石＞０，

故户＋而的取值范围为（ｏ，３］．

改编题２已知关于ｔ的方程ｔ２一弘＋ｑ一０

有两个正实根，且５ｐ２—８ｑ＋２ｐｑ一１６，求户的取值范围．

解设方程ｔ２一弘Ｊｒｑ一０的两个根为ｔ。，

ｔ２，则ｔｌ＞０，ｔ２＞０．由韦达定理，得ｔ１＋ｔ２一夕

万方数据

，铆?一蔫娩一蒜淇札√

∈Ｒ＋，则题设条件变为

垒型（兰±２２±（兰型互±型正２：（石Ｊｒ√歹）２

（√；＋√歹）３／令ｕ＝Ｖ［－｛（ｘ：Ｊ—ｙｐ＋：Ｙ｜｜ｚＴ）．

ｕ一

ｑ兰（ｚ６＋，压、）硼一丽４ｘ）ｙ（ｚ石＋万。

’

（０ｚ＋０ｙ、）（ｚｏｙ＋０ｚ、）

则上式变为伽＋伽＋删＋２ｕｖｗ一１

６ｘｖ／亟－而Ｙ，

甘了轴＋ｉ备＋石葺１—１，

即警＋蔫＋万４ｘ＋４互万－

由柯西不等式，得１≥鱼吾≠孵，

整理得２√万－Ｆ２ｖ／－面＋２√面≤３，

整理得Ｙ≠ｘ等％＋畿≤２，

—卜ｑ，

～ｚ—卜～》

即ｔ，．Ｆｔｚ≤２，亦即户≤２．故户的取值范围

为（ｏ，２］．

参考文献

１安振平，陈宝安．一道竞赛题的证明与思维拓展［Ｊ］．

中学数学教学参考（上旬），２００９（７）：２１—２２

２陈继雄．一道赛题的另一种证法［Ｊ］．中学数学教学

参考（上旬），２０１０（１—２）：１３４

３安振平．一道伊朗数学竞赛题的再探究［Ｊ］．中学数

学教学参考（上旬），２０１３（１—２）：１１９—１２０

＋垃丘挚４靼一１，

≤３，

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