高等数学 中值定理
§4.1
教学过程:1.【费马定理】设U(x0) D(f),
中值定理
一、罗尔中值定理及其应用
y
y f(x)
且对于任意x U(x0),都有f(x) f(x0)[或f(x) f(x0)],若f(x) D(x0),则f (x0) 0.
x0
证明:由于f(x) f(x0) f(x) f(x0) 0,
x U(x0),那么
f(x) f(x0)
f (x0) lim 0,(因x x0 0)
x x0x x0
f(x) f(x0)
f (x0) lim 0,(因x x0 0),
x x0x x0
y
所以f (x0) 0.C
y f(x)
2.【罗尔Rolle定理】AB设f(x) C[a,b],
Of(x) D(a,b),且b
f(a) f(b),则至少 (a,b),.t.f ( ) 0.证明:因f(x) C[a,b], xm,xM [a,b],s.t.
m f(xm) min{f(x)},
a x b
M f(xM) max{f(x)}.
a x b
(1)当m M时,则f(x) M,x [a,b],那么f (x) 0,x (a,b).
a b
(a,b),有f ( ) 0.2
(2)当m M时,因f(a) f(b),
所以m,M不可能同时在端点达到,由f(x) D(a,b),
取
①若f(a) M,有xM (a,b),取 xM;②若f(a) M,有xm (a,b),取 xm;
因 (a,b),f(x) D( ),由费马定理知:f ( ) 0.
(2)的另证:当m M时,因f(a) f(b),所以m,M不可能同时在端点达到.
不妨设m f(a),则m在区间(a,b)内达到,即至少存在一点 (a,b)使得f( ) m,由于
f(x) D(a,b) f(x) D( ),即f ( ) f ( )
f(x) m
0
x x
f(x) m
且f ( ) lim 0
x x
所以f ( ) 0.
又因为
f ( ) lim
y3.几何意义:
C光滑曲线y f(x)在区间
两个端点纵坐标相等且在
A
除端点以外处处有不垂直于x轴的切线,则曲线在区间内至少有一条水平切O 线(或称曲线在区间内
至少有一条与横轴平行的切线).
y f(x)
B
b
x
例1验证函数f(x) x 2x 3在区间[ 1,3]上罗尔定理成立.
提示:f(x) x 2x 3 (x 3)(x 1) C[ 1,3]
2
2
f (x) 2x 2 D( 1,3),
f( 1) f(3) 0满足罗尔定理的条件,所以至少 1 ( 1,3),使得f (1) 0
例2不用求出f(x) (x 1)(x 2)(x 3)的导数,试判别方程f (x) 0有几个实根.以及根所在的范围.
解:显然f(x)在区间[1,2],[2,3]上都连续,f(x)在区
间(1,2),(2,3)内都可导,且f(1) f(2) f(3),由罗尔定理知,
1 (1,2), 2 (2,3),s.t.f ( 1) f ( 2) 0;由于方程f (x) 0是一元二次方程,所以方程至多有两个实根,故方程f (x) 0有且仅有两个实根 1, 2.
注意:当罗尔定理的三个条件有一个不满足时,定理的结论就可能不成立.如图所示
例3(期末考试题)设f(x) C[0,1],f(x) D(0,1),且f(0) 0,
证明: (0,1),s.t.f( ) ( 1)f ( ) 0.(提示构造函数F(x) (x 1)f(x))证明:设F(x) (x 1)f(x),则
F(0) f(0) 0 (1 1)f(1) F(1),因为f(x) C[0,1],f(x) D(0,1),所以F(x) C[0,1],F(x) D(0,1),
从而函数F(x)在[0,1]上满足罗尔中值定理条件,所以至少 0 (0,1)使得F ( 0) 0,即f( 0) ( 0 1)f ( 0) 0.
提问1:设f(x) C[0,a],f(x)
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看D(0,a),且
f(a) 0,则 (0,a),s.t.3f( ) f ( ) 0.提示:构造函数F(x) x3f(x),则
F (x)=3x2f(x) x3f (x),可以用罗尔定理证明.提问2:设f(x) C[1,2],f(x) D(1,2),且f(2) 8f(1),
证明至少 (1,2),s.t.3f( ) f ( ) 0.
提示:构造函数F(x) x
f(x),
F (x)=-3x 4f(x) x 3f (x),
3
可以用罗尔定理证明.
提问3:设f(x) C[0,1],f(x) D(0,1),且
f(0) f(1) 0,
证明:至少 (0,1),s.t.f ( ) f( )sin 0.
提示:构造函数F(x) e
f(x),则
F (x)=e cosxf(x)sinx e cosxf (x)
cosx
可以用罗尔定理证明.
说明:根据题设找出满足罗尔定理条件的函数是证明问题的关键.
例4(03.8)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0) f(1) f(2) 3,f(3) 1,试证必存在
(0,3),使f ( ) 0.
证
由条件f(x) C[0,3],[0,2] [0,3]知f(x)在
[0,2]上连续,所以f(x)在[0,2]上取得最小值m与最大
f(0) f(1) f(2)
值M,于是m 1 M,
3
由介值定理知,存在 [0,2],使得f( ) 1;所以f( ) f(3) 1
又由条件知f(x)在[ ,3]上连续,在( ,3)内可导,
由罗尔定理知,
至少存在 ( ,3) (0,3),使得f ( ) 0.故已知结论正确.
结论:罗尔中值定理的作用:解决导函数构成方程的根的问题.
二、拉格朗日中值定理及其应用1.【拉格朗日Lagrange中值定理】设f(x) C[a,b],y
Cf(x) D(a,b),
则至少 (a,b),s.t.
A
f(b) f(a) f ( )(b a)
f(b) f(a)
【或f ( ) 】.Ob a
此式称为拉格朗日中值公式.证明:构造函数
y f(x)
N
B
b
x
L(x) f(x) f(a)
f(b) f(a)
(x a),
b a
其中x [a,b].
因为f(x) C[a,b],所以L(x) C[a,b];由f(x) D(a,b),知L (x) f (x) 即L(x) D(a,b);
又L(a) 0 L(b),
所以由罗尔定理知: (a,b),s.t.L ( ) 0,
f(b) f(a)
,
b a
f(b) f(a)
0,
b a
所以f(b) f(a) f ( )(b a), (a,b).
即
L ( ) f ( )
结论:拉格朗日中值定理的作用:证明恒等式与不等式问
题,证明单调性问题.
说明:
1)设L(x) f(x)(b a) [f(b) f(a)]x,
x [a,b]也可以进行定理证明.
2)拉格朗日中值定理在a b时成立.拉格朗日中值定理
也称为微分中值定理.或有限增量定理,它精确表示了函数在一个区间上的增量与函数在此区间内某点导数间的关系: y f (x x) x,其中0 1.(微分中值公式)
下载文档
热门试卷
- 2016年四川省内江市中考化学试卷
- 广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
- 辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 山东省滨州市三校2017届第一学期阶段测试初三英语试题
- 四川省成都七中2017届高三一诊模拟考试文科综合试卷
- 2017届普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(附答案)
- 重庆市永川中学高2017级上期12月月考语文试题
- 江西宜春三中2017届高三第一学期第二次月考文科综合试题
- 内蒙古赤峰二中2017届高三上学期第三次月考英语试题
- 2017年六年级(上)数学期末考试卷
- 2017人教版小学英语三年级上期末笔试题
- 江苏省常州西藏民族中学2016-2017学年九年级思想品德第一学期第二次阶段测试试卷
- 重庆市九龙坡区七校2016-2017学年上期八年级素质测查(二)语文学科试题卷
- 江苏省无锡市钱桥中学2016年12月八年级语文阶段性测试卷
- 江苏省无锡市钱桥中学2016-2017学年七年级英语12月阶段检测试卷
- 山东省邹城市第八中学2016-2017学年八年级12月物理第4章试题(无答案)
- 【人教版】河北省2015-2016学年度九年级上期末语文试题卷(附答案)
- 四川省简阳市阳安中学2016年12月高二月考英语试卷
- 四川省成都龙泉中学高三上学期2016年12月月考试题文科综合能力测试
- 安徽省滁州中学2016—2017学年度第一学期12月月考高三英语试卷
- 山东省武城县第二中学2016.12高一年级上学期第二次月考历史试题(必修一第四、五单元)
- 福建省四地六校联考2016-2017学年上学期第三次月考高三化学试卷
- 甘肃省武威第二十三中学2016—2017学年度八年级第一学期12月月考生物试卷
网友关注
- 英语词典重要性_-2087653075
- 如何使用英语词典
- 2015年三大GMAT培训机构对比
- 对七部英语学习型词典错误警示问题的对比分析
- 两部英语学习词典之比较分析
- 很好用的在线翻译词典—灵格斯英语在线翻译
- [教学]【尚友论坛】gmat高分宝典
- [宝典]2008年英语专业四级全真试题
- 高考英语必备 必应词典三周速背海量单词
- 英语词典基本信息汇总表
- 词典中的正误对比信息呈现模式研究——基于五本英语学习词典的实证研究
- 800分大年夜牛人gmat经历[优质文档]
- 将两个词典并排在画面中查询 - Support - worldcasiocom - …
- GMAT数学满分冲刺有何妙招
- 英语四级完型填空方法指导
- [优质文档]【尚友制作】gmat进修方法三部曲
- 【GMAT案例】两个月550分到650分的信心
- 如何解决gmat考试写作速度慢
- [宝典]英语词典重要性
- 牛津英语词典和它的首席词源侦探
- 谈新牛津英语词典的翻译
- [宝典]好用的网上词典
- 英汉心理词典中英语单词表征的熟悉度效应研究*
- 计算机专业英语词典网址大全
- 2014年1月数学gmat机经讨论50-100题
- 有机化学方面的专业英语03756
- GMAT逻辑试题的类型介绍
- 800分牛人分享经历 五段式备考gmat[优质文档]
- 关于英语词典使用与学生自主学习的调查报告
- GMAT写作题库范文(二十三)
网友关注视频
- 化学九年级下册全册同步 人教版 第18集 常见的酸和碱(二)
- 【部编】人教版语文七年级下册《逢入京使》优质课教学视频+PPT课件+教案,辽宁省
- 冀教版英语五年级下册第二课课程解读
- 3.2 数学二年级下册第二单元 表内除法(一)整理和复习 李菲菲
- 北师大版数学四年级下册第三单元第四节街心广场
- 【部编】人教版语文七年级下册《逢入京使》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
- 北师大版数学四年级下册3.4包装
- 第4章 幂函数、指数函数和对数函数(下)_六 指数方程和对数方程_4.7 简单的指数方程_第一课时(沪教版高一下册)_T1566237
- 《空中课堂》二年级下册 数学第一单元第1课时
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 五年级下册 Unit 7
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 五年级下册 Unit 12
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 五年级下册 Unit 10
- 第12章 圆锥曲线_12.7 抛物线的标准方程_第一课时(特等奖)(沪教版高二下册)_T274713
- 冀教版小学数学二年级下册1
- 小学英语单词
- 第五单元 民族艺术的瑰宝_16. 形形色色的民族乐器_第一课时(岭南版六年级上册)_T3751175
- 苏科版数学 八年级下册 第八章第二节 可能性的大小
- 苏科版八年级数学下册7.2《统计图的选用》
- 【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案,湖北省
- 沪教版八年级下次数学练习册21.4(2)无理方程P19
- 【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案,广东省
- 第8课 对称剪纸_第一课时(二等奖)(沪书画版二年级上册)_T3784187
- 外研版八年级英语下学期 Module3
- 冀教版英语三年级下册第二课
- 3月2日小学二年级数学下册(数一数)
- 冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的竖式计算》
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 4
- 8.练习八_第一课时(特等奖)(苏教版三年级上册)_T142692
- 人教版二年级下册数学
- 冀教版小学数学二年级下册第二周第2课时《我们的测量》宝丰街小学庞志荣.mp4
精品推荐
- 2016-2017学年高一语文人教版必修一+模块学业水平检测试题(含答案)
- 广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
- 辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
分类导航
- 互联网
- 电脑基础知识
- 计算机软件及应用
- 计算机硬件及网络
- 计算机应用/办公自动化
- .NET
- 数据结构与算法
- Java
- SEO
- C/C++资料
- linux/Unix相关
- 手机开发
- UML理论/建模
- 并行计算/云计算
- 嵌入式开发
- windows相关
- 软件工程
- 管理信息系统
- 开发文档
- 图形图像
- 网络与通信
- 网络信息安全
- 电子支付
- Labview
- matlab
- 网络资源
- Python
- Delphi/Perl
- 评测
- Flash/Flex
- CSS/Script
- 计算机原理
- PHP资料
- 数据挖掘与模式识别
- Web服务
- 数据库
- Visual Basic
- 电子商务
- 服务器
- 搜索引擎优化
- 存储
- 架构
- 行业软件
- 人工智能
- 计算机辅助设计
- 多媒体
- 软件测试
- 计算机硬件与维护
- 网站策划/UE
- 网页设计/UI
- 网吧管理