高校排课问题的图论模型及算法

２４０２００９，４５（２７）ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄ

Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用

高校排课问题的图论模型及算法

王凤１，林杰－，２ＷＡＮＧ

Ｆｅｎ９１，ＬＩＮＪｉｅｌ ２

１．同济大学经济与管理学院，上海２０００９２

２．同济大学电子商务与电子政务研究所，上海２０００９２

１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｃｏｎｏｍｉｃｓａｎｄ２．Ｔｈｅ

Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆ

Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，Ｔｏｎｇｊｉ

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ

２０００９２，Ｃｈｉｎａ

２０００９２，Ｃｈｉｎａ

Ｅ—ｃｏｍｍｅｒｃｅａｎｄ

Ｅ—ｇｏｖｅｒｎｍｅｎｔ，Ｔｏｎｇｊｉ

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ

Ｅ－ｍａｉｌ：ｍｏｍｉｎ９１２３１＠１６３．ｃｏｍ

ＷＡＮＧ

Ｆｅｏｇ，ＬＩＮ

Ｊｉｅ．Ｍｏｄｅｌ

ｏｆｃｏｌｌｅｇｅ

ｔｉｍｅ－ｔａｂｌｅｐｒｏｂｌｅｍｂａｓｅｄ

ｏｎ

ｇｒａｐｈ

ｔｈｅｏｒｙ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，

２００９，４５（２７）：２４０一２４２．

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｕｒｓｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｔｈａｔｔｒａｔｉｖｅ，ａｎｄ

ａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ

ｉｓ

ｏｎｅ

ｏｆ

ｃｏｒｅｓ

ｏｆ

ｔｅａｃｈｉｎｇｍａｎａｇｅｍｅｎｔ．Ｔｈｉｓ

ａｎｄａｄｖａｎｃｅ

ｐａｐｅｒｂｕｉｌｄｓ

ａ

ｎｅｗ

ｍｏｄｅｌｗｈｉｃｈｉｓ

ｌｅｓｓｏｎｓ

ａｌｅ

ｔｏｎｏｔ

ｍｅｅｔｖｅｒｙ

ｔｈｅｒｅ－

ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｓｔｕｄｙｉｎｇｆｏｌｌｏｗｉｎｇｔｈｅｓｅｑｕｅｎｃｅ

ａ

ｇｒａｄｕａｌｌｙａｎｄｔｅａｃｈｅｒｓ

ｔｏｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅ

ｃｏｕｒｓｅ

ｇｉｖｉｎｇｔｉｍｅ

ｃｏｎｃｅｎ—

ｐｒｅｓｅｎｔｓ

ｐｒａｃｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｗｈｉｃｈｉｓ

ｕｓｉｎｇｔｈｅｅｄｇｅｃｏｌｏｒｉｎｇ

ａｎｄｗｏｒｋ

ｄａｙｒｅａｓｏｎａｂｌｙ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｌｌｅｇｅｔｉｍｅ—ｔａｂｌｅｐｒｏｂｌｅｍ；ｅｄｇｅｃｏｌｏｒｉｎｇ；ｇｒａｐｈｔｈｅｏｒｙｍｏｄｅｌ

摘要：针对排课系统的缺陷，提出了尊重学生学习规律，按照课程的重要程度和重要课程分配的时间间隔，利用图论的边着色理论，对排课资源进行建模，并给出了有效的多项式时间算法，使得排课问题的解决更加合理与人性化。关键诃：高校排课；边着色；图论模型ＤＯＩ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２－８３３１．２００９．２７．０７２

文章编号：１００２—８３３１（２００９）２７－０２４０－－－０３

文献标识码：Ａ

巾图分类－弓－：ＴＰ３９；０１５７．６

１问题的提出

近二十年来，已经有许多学者针对不同应用环境的高校排

上述问题的出现，主要是模型的没计不当造成的，仅仅注重排课资源中时Ｉ’日Ｊ和教室问题，对人性化设汁的要求重视不

课问题给出不同的解决方案。通过图论的方式来研究排课问题是—个比较典型的方法，但多数情况下对排课的数学抽象都过于简单而且有些并不能符合实际情况。

例如：有些模型将教师和班级分别作为二部图的两个顶点

集，若某一教师教授某一班级的课程则将图中这两个顶点连线，用求偶图对集的方式来为不同的班级安排授课时间。这种模型忽略了大学教学中班级不固定的特点，导致了班级划分不

够，即在算法设计中对老师、学生及课程情况考虑较少，对教与

学的规律尊重不够。因此，该文针对上述问题，构造出相对人性

化的排课模型，以期一定程度上改善该问题。

２模型的建立

大学教学主要有两个显著特点：（１）教学活动不再以行政

班为主，且每个班级也没有固定的教室；（２）学校在每个学期开

唯一。还有些模型将不同课程的所有班级一一列出，又会出现

英语—班的某个同学也同时属于高数一班，而按照模型的设置

始公布本学期所开没的课程，每个系或专业的各个班级学生都

要学习一些公共或必修课程；除此之外，每个学生还会根据自己的兴趣爱好和学分情况，选择若干选修课程。

并没有显示这两ｆ】课程不可以排在同一时间。进而引起冲突。有些模型违背人类学玎掌握知谀的渐进式生理特点，将一ｒＪ课

程的两次课（每次２—３学时）安排在一天之中，导致学生在两次

２．１基ｆ图论理论的简单模型

根据大学课表的特点，以周为单位，按下列方式抽象成图

Ｇ（ｙ。Ｅ）：

课之Ｉ＇日Ｊ根本没有时问去消化知识和完成作业；还比如，在班级

课表中，同样明显存在一周中的某一天课特别多，而有的天课

（１）图的顶点集Ｉ，由两部分组成，其一用强仍，疋，乃，…，

瓦ｌ表示有乃个不同的教师，另一用Ｃ＝ＩＣ．，Ｃ：，ｃ３，…，ｃ０表示所

又特别少的情况。其次，在对待不同门类的课程方面，也经常出现不合理的上课安排。比如，在同—个班中，将专业主干课排在

了非黄金时间（下午３—４节或晚上），而将较次要的选修课则排在了黄金时Ｊ＇日Ｊ，等等。

有班级的所有课程集合，如高等数学有两个班级，高数１班、高数２班，则用高数１、高数２区分成不同课程；若每周课时多于

一次的课程，如高数１班在１周内需要排课３次，则用高数

基金项目：国家８６３／ＣＩＭＳ主题资助项目（ＰｒｏｊｅｃｔｓｓｕｐｐｏｒｔｅｄｂｙｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＨｉｇｈ—Ｔｅｅｈ．Ｒ＆ＤＰｒｏｇｒａｍｆｏｒＣＩＭＳ，ＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔ

Ｎｏ．

２００７ＡＡ０４２１５１）；新世纪优秀人才支持计划资助（Ｐｒｏｇｒａｍ

ｆｏｒＮｅｗ

Ｃｅｎｔｕｒｙ

ＥｘｃｅｌｌｅｎｔＴａｌｅｎｔｓｉｎ

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔ

Ｎｏ．ＮＣＥＴ－０６－０３７７）；Ｉ－＿海市莺点学科建没项目（ＳｈａｎｇｈａｉＬｅａｄｉｎｇＡｃａｄｅｍｉｃＤｉｓｃｉｐｌｉｎｅＰｒｏｊｅｃｔ。Ｎｏ．Ｂ３１０）。

作者简介：王凤（１９８０一），博士生，研究方向：决策支持系统、决策模型；林杰（１９６７一），教授，研究方向：决策支持系统．分布式仿真等。

收稿日期：２００８—０５—２１

修四日期：２００９—０３—２５

万方数据　

王凤，林杰：高校排课问题的图论模型及算法

２００９。４５（２７）

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１１、高数１２、高数１３区分成不同课程，类似的有高数２ｌ、高数２２、高数２３．则全校所有班级的所有课程都可以正确区分了，把这样的课程抽象成结点作为图顶点集的另外一个部分，依次记为｛Ｃ１，ｃ２，Ｃ３，．”，ｃｍ｝表示共有ｍ次课程。

（２）图的边集Ｅ由顶点集的两个部之间的连线组成。若７’中某一个老师教授Ｃ中的某一节课程，则将这两个顶点以实线相连。以这种方式抽象排课问题得到了一个偶图。由于大学

里某—班级的同一课程基本上都是由一位老师担任教授，所以

偶图中第二顶点集（课程）的顶点度数都为ｌ。由于选择某一门

课程的学生也可能选择另外一门课程，因此这两门课不能安排

在同一时间段。如高数１班的某一学生也可能选择属于英语２班，因此在这两个班级课程之问用一条虚线相连，表示这两节课不能同时上。

ｎ

疋

乃

乃

乃

图１排课图

用边着色理沦分配授课时问段：如果一个图可以用Ｋ种

颜色灾现正常边着色，就说明，从每一个顶点发出的相邻边可有不同的颜色。把一种颜色对应一个授课时间段，就可以保征在一张有Ｋ个时问段的课表内，某个老师代的各班的课不在一个时间段，同样，每个班级上的不同老师的课也不在同一个

时间段。这样在假定教室足够多的情况下，就可以保证教师、课

程等要素不会发生冲突。在上述建立的模型中，运用边着色理

论，为图中每一条实线着色，且要求其顶点有虚线相连的实线

边着不同颜色。由此可以得到一组颜色集，每个颜色集就代表了一次授课分配时间段，由此保证了老师学生的课程不发生冲

突。如图１所示：教师Ｅ教高数１班的每周３节高数课Ｃ。、Ｃ２、ｃ３。疋教高数２班的每周３节课ｃ４、ｃ５、ｃ６。乃教英语１班的每周２节英语澡ｃ７、ｃ８。乃教英语２班的每周３节课ｃ９、ｃ．。。瓦教

授全体学生每周ｌ节的哲学课Ｃ¨。为每条实线边着色便可得到一组颜色集，即一种授课时间分配方式。

２．２排课模型的进一步完善

（１）大学课程的安排一般分为公共课，必修课和选修课。公

共课主要指像英语、计算机基础、高等数学、哲学等课程，它们

涉及全校较大范围的师生；必修澡主要指专业必修课，这些课一般只涉及各个系内师生；公共课和专业必修课都是以班级为单位、由学校进行没置的课程，而选修课主要指以学生个人为单位、由学生本人在某一范围内进行选择的课程。实际中的课

程经过处理都转化为上面三类，以便简化问题。排课中，对澡程

采取公共ｉ暴冼先、必修课次之、选修课最后的排法。由于文献『１】

中对大学选修课排法做了详细深入地分析，指出：即使每位学

生最多选两门课程，问题仍然是难解的，这样得到在实际选课过程中，优先将公共澡与必修课安排好，再对选修课适当排列，

使得学生根据必修课的情况选择自己时问上允许的选修课。这

种方式保证了选课的不冲突性，而且将Ｉ’ｕＪ题进行了分割以逐步

求解。避免了所有课程同时安排『ｆｉｉ出现没有足够的时间段分配

万　

方数据的情况。对于单双周课或合班课可以进行“虚排”，然后再人工减删，所空出的课时和教室留以待用或作其他安排。

（２）在每种课的编排时按先排时间课程表，再根据所排时

问课程情况配备以教室的排法。而为了保证在同一课时，教室

的资源的利用尽可能均衡，即在为图进行边着色时，为每个颜色觑设置一个参数Ｉｋ。Ｉ，记录其所包含边数的个数，并为它们设

置上限ｘ，通过对ｘ的调整，使得每个颜色集的元素数量尽量

均衡。另外．若某两节课程要用相同的教室资源（如实验搴）也可将课程顶点集中对应的课程用虚线相连，以保证它们彳ｉ被安排在同一时问段。

（３）为保证重要课程安排在黄金时间，为每条实线边没置—个权数，在着色的时候尽量使得所连权重相似的边着相同的

颜色。这样可以将重要的课程同时安排在课程的重要时ｆｂＪ，避

免出现将重要程度相差很大的课程安排在同一颜色集中，导致分配时ｌ’日Ｊ段时必须有所牺牲的情况。课程教学按照每周５天，

每天安排４个时Ｊ’日Ｊ段：即上午１２节、３４节和下午５６节、７８节

的方式进行。上午１２节课是黄金时段，一般安排重要的课程。３

节的课程一般安排在下午５６７节。在为模型的边着色过程中，由于同一课程的一周内不同的课次是相邻的，因此它们被分配

了不同的颜色。即安排了不同的时｜’日Ｊ段。根据文献¨】：相同课程

不同课次的安排应该是交义安排比较合理，如高数课程一周３

次，安排在星期一１２节，星期三３４节，星期五１２节；或星期一３４节。星期二三１２节，星期五３４节。在分配好颜色集后，由于颜色集的数目不会很大（一般每周为１５～２０个时间段），将所有颜色集按权数总和进行排序。根据权数大小进行交义安排，使得

权数大的课程尽量优先安排。将相同课程的不同课次不安排在同一天，以保证学生有时问去消化知识和完成作业。３算法的设计

根据教学大纲，利用上述方法构造出图Ｇ。假设图中共有凡条实线边，根据课程的重要程度为每条实线边ｅ设置权重为ｆｏｅ；Ｊ玺ｌ中顶点的最大度为Ａ；有￡个教室可以利用，则要求每个颜色集内包含的边集至多为Ｌ个。

（１）构造刁＝（ｃ，刖，其中Ｅ＝（ｂ表示已着色的实线边集合，Ｅ用来表示还没有着色的实线边集合。任意取一个整数ｍ（ｍ≥

△），并构造数组Ｋ＝（矗．，ｋ：，…，ｋｍ）代表ｍ种颜色；令Ｉｋ；Ｉ为着ｋ；

颜色的边的个数。初始值为Ｏ；ｍ。｝，｛后：｝，…，忙。｝｝分别为着这些颜色的实线边的集合，初始值为咖。数组（Ｋ。，Ｋ：，…，Ｋ。）表示每种颜色已着色边的权值之和，初始值为０。根据实际所要达到的课程的均匀程度及教室的数目适当选取参数ｘ，其中ｘ≤￡。

（２）构造方法ｃｈｅｃｋ。（矗，ｅ）为布尔性，功能是已着色为ｋ的

所有实线边中有无它们所含顶点与实线边ｅ相连的，若有则边

ｅ不可着色为ｋ，返Ｉ旦ｌｆａｌｓｅ；若无则可着色为ｋ，返回ｔｒｕｅ。该方法需要遍历Ｆ，时问耗费为０（／７，）。

构造方法ｃｈｅｃｋ：（｜｜｝）为布尔性，功能是检查已着色为ｋ的实线边中有无它们所含课程顶点与实线边ｅ的课程顶点以虚线相连的，若有则返回ｆａｌｓｅ；若无则可着色为ｋ，返回ｔｒｕｅ。该

方法需要遍历课程顶点，时间耗费为Ｏ（ｎ）。

构造方法ｃｈｅｃｋ，（七）为布尔性，功能是比较已着色为ｋ的实线边的个数㈨是否成立：Ｉｋｌ≥ｘ，若成立则ｅ不可着色为ｋ，

返回ｆａｌｓｅ；若无则可着色为ｋ，返回ｔｒｕｅ。该方法只需要进行一

次比较，时间耗费为Ｏ（１）。

２４２

２００９，４５（２７）

Ｃｏｍｐｕｔｅｒ

ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃｏ＊ｉｏｎ口计算机工程与应用

表１捧课结果比较

（３）对于Ｅ中的实线边ｅ，若ｅ

Ｅ

Ｅ，遍历颜色值，调用方法

ｃｈｅｃｋｌ、ｃｈｅｃｋ２和ｃｈｅｃｋ３找出使之返回值均为ｔｒｕｅ的所有颜色

ｘ，则在所有可着的颜色中找到一种与实线边ｅ的课程顶点的

权重最为接近的颜色后；，将ｅ的着色为ｋ；。并运行露＝露ｕ㈦ｅ，肚

Ｅ一忙ｌ，｛｜｜｝，ｌ－忙；ｌＵ㈦ｅ，Ｉｋ；Ｉ＝ｌｋ。Ｉ＋１，Ｋｉ＝Ｋ，＋ｗｅ。该步骤需要遍历Ｅ中所有实线边，并对每条实线边遍历颜色值，时问耗费为Ｏ（ｍ）。若遍历颜色值后，没有颜色使ｃｈｅｃｋ。、ｃｈｅｃｋ：和ｃｈｅｃｋ，的返回

排比较结果如表ｌ：

观察表１，同一课程上课间隔期、学生主干课程每周上课天数和学生每天平均上课节数都得到较大改善，但课程首排冲突率较高，改善不多，还需进行微调。

值为ｔｒｕｅ，表示没有合适的颜色对该顶点着色，另取整数ｍ，返回第（１）步。在取一定数目的ｍ后，仍然没有合适的颜色，返回

颜色不够用的信息，并退出程序。

（４）当Ｅ＝６时，计算结束返回着色结果Ｅ，墨和ｍ。】，忙２１，

…，｛矗。｝｝。否则返回到第（３）步。

进行完一次运算后，另取ｘ值，比较返回结果，选择符合实际要求的颜色分配方式。并将选择的结果，根据权重为颜色集进行交叉排序，权重大的优先排列，由此可以得到一张课表。

５结论

通过对排课问题的深入分析，提出了合理安排课程计划的方案，并建立模型，提出了一种实用算法，极大地改善了高校课程安排问题，使之能够在多项式时间内得到—个可以接受的着色方案。根据上述算法模型，以ＪＡＶＡ作为开发工具，设计开发了高等院校排课系统，并经排课数据测试，从资源利用率、课程分布合理性、排课速度等方面都取得了满意的排课效果。同时排课系统的解决可为各高校以课程排课为中心的选课系统、成绩管理、教学检查等教务管理信息化建设铺平道路。另外，该文从多角度为排课问题给出数学抽象，希望能够为大家提供迸一步研究的素材。

４案例实现

采用可视化编程技术ＶＢ语言开发，实现了高校排课表问题，用户操作简单，界面友好，功能完善，对支持系统要求较低。

根据录入的初始数据应用上述算法进行排课，排课生成的课程

表可按班级、教师、教室、时问进行查洵。其功能模块如图２。

ｎ磊藩司

参考文献：

系统管理ｌ

ｌ排课管理ｌ

ｌ课表管理

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用，２００５，２５（Ｚ１）．

用户

系

统

数据初

教学

计划

权

限设置

教学任务

始化

管理

排课数据初

始

自

动课表生成

班级

课

教师课表

教室课表

时间课表

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表

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化

图２系统模块图

根据该系统，对同济大学经管学院本科生２００７、２００８两年４个学期的课表进行重排，得到新的课程安排。与原有课程安（上接２３０页）

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【４１ＹｕＳｈｕａｎｇｈｅ．Ａｄａｐｔｉｖｅｆｕ＝ｙｃｏｎｔｒｏｌｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒ

ｔｅｒｍｉｎａｌｓｌｉｄｉｎｇ

ｓｙｓｔｅｍｓ

ｂａｓｅｄ

ｏｎ

ｍｏｄｅ［Ｊ］．ＬＮＣＩＳ３４４：ＩＣＩＣ，２００６：４７４—４７９．

图４

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２１－３０．

控制方法来解决二阶非线性不确系统，该方案对系统的不确定

ｆ唧ｓｌｉｄｉｎｇ

性和外界干扰具有很好的鲁棒性，在选取合适的和后，可使系

统状态达到滑模面的比较小的邻域内，使其沿着滑模面收敛到

平衡状态；滑模面的没计中引入了非线性函数，确保了跟踪误

差在收敛时间上是最优的；采用模糊逼近的方法，消除了对不确定性边界的限制，有效降低了抖振。

【７ｌ

ＬｉｕＪｉｎｋｕｎ，Ｓｕｎ

Ｆｕｃｈｕｎ．ＣｈａＲｅｄｎｇ

ｆｒｅｅ

ａｄａｐｔｉｖｅｆｕ＝ｙ

ｔｅｒｍｉｎａｌ

ｓｌｉｄｉｎｇｍｏｄｅｃｏｎｔｒｏｌｆｏｒｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｍ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｎｔｒｏｌＴｈｅｏｒｙａｎｄＡｐｐｌｉｅａｔｉｏｎａ。２００６，４：３５８－３９１．

万方数据　

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高校排课问题的图论模型及算法

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

王凤， 林杰， WANG Feng， LIN Jie

王凤,WANG Feng(同济大学,经济与管理学院,上海,200092)， 林杰,LIN Jie(同济大学,经济与管理学院,上海,200092;同济大学,电子商务与电子政务研究所,上海,200092)计算机工程与应用

COMPUTER ENGINEERING AND APPLICATIONS2009,45(27)6次

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本文读者也读过(5条)

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