大物B课后题01-第一章 质点运动学

习题精解 1-6

某质点的速度为v 2i 8tj，已知t=0时它经过点（3，-7），则该质点的运动方程

为（ ） 解：

dr

因为 v

dt

所以 dr 2i 8tjdt

于是有

r

r0

t

dr 2i 8tj dt

2

即 r r0 2ti 4tj 2

亦即 r 3i 7j 2ti 4tj

故 r 2t 3 i 4t2 7j

1-7 一质点在平面上作曲线运动,t1时刻位置矢量为r1 2i 6j，t2时刻的位置矢量为

（1）在 t t2 t1时间内质点的位移矢量式;(2)该段时间内位移的大小r2 2i 4j，求：

和方向；（3）在坐标图上画出r1,r2及 r。 解 （1）在 t t2 t1时间内质点的位移矢量式为

r r2 r1 4i 2j m

（2）该段时间内位移的大小 r

42 2 25 m

2

该段时间内位移的方向与轴的夹角为 tan

1

2

26.6 4

（3）坐标图上的表示如图1.1所示

1-8某质点作直线运动，其运动方程为x 1 4t t ，其中x 以m 计，t 以s 计，求：（1）第3s末质点的位置；（2）头3s的位移大小；（3）头3s内经过的路程。 解 （1）第3s末质点的位置为

2

x(3) 1 4 3 32 4(m)

（2）头3s的位移大小为 x(3) x 0 3(m)

（3）因为质点做反向运动时，有v(t) 0，所以令内经过的路程为

x(3) x(2) x(2) x(0) 4 5 5 5(m)

1-9已知某质点的运动方程为x 2t,y 2 t2，式中t以s计，x和y以m计。（1）计算并图示质点的运动轨迹；（2）求出t 1s到t 2s这段时间内质点的平均速度；（3）计算1s末2s末质点的速度；（4）计算1s末和2s末质点的加速度。 解 （1）由质点运动的参数方程x 2t,y 2 t2消去时间参数t得质点的运动轨迹为

dx

0，即4 2t 0,t 2s因此头3sdt

x2

y 2 x 0

4

运动轨迹如图1.2

（2）根据题意可得到质点的位置矢量为 r (2t)i (2 t2)j

所以t 1s到t 2s这段时间内质点的平均速度为

rr(2) r(1) 2i 3j(m s 1) t2 1

（3）由位置矢量求导可得质点的速度为 v r 2i (2t)j

所以1s 末和2s 末的质点速度分别为

v(1) 2i 2j(m s)和v(2) 2i 4j(m s) （4）由速度求导可得质点的加速度为 a v 2j 所以1s末和2s末质点的加速度为

a(1) a(2) 2j(m s)

1-10湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过离河面高H的滑轮拉船靠岸，如图1.3所示。设

绳子的原长为l0，人以匀速v0拉绳，使描述小船的运动。

解建立坐标系如图1.3所示。按题意，初始时刻（t=0）,滑轮至小船的绳长为l0，在此后某时刻t,绳长减小到l0 vt，此刻船的位置为

1

1

1

x

这就是小船的运动方程，将其对时间求导可得小船的速度为

v

vdx 0 dtcos 将其对时间求导可得小船的加速度为

22

2v0H2dv

a 3

dtx其中负号说明了小船沿x轴的负向（即向岸靠拢的方向）做变加速直线运动，离岸越近（x

越小），加速度的绝对值越大。

1-11大马哈鱼总是逆流而上，游到乌苏里江上游去产卵，游程中有时要跃上瀑布。这种鱼跃出水面的速度可达32km h。它最高可跃上多高的瀑布？和人的跳高记录相比如何？ 解 鱼跃出水面的速度为v 32km h

1

1

8.89m s 1,若竖直跃出水面，则跃出的高度

v2

h 4.03(m)

2g

此高度和人的跳高记录相比较，差不多是人跳高的两倍。

1-12 一人站在山坡上，山坡与水平面成 角，他扔出一个初速度为v0的小石子，v0与水平面成 角，如图1.4所示。（1）若忽略空气阻力，试证小石子落到了山坡上距离抛出点为S

2

2v0sin cos

时处，有S 。（2）由此证明对于给定的和值时，S在v 02

42gcos

2

v0 sin 1 。

gcos2

有最大值Smax

解 （1）建立如图1.4所示的坐标系，则小石子的运动方程为

x v0cos t

12

y v0sin t gt 2

当小石子落在山坡上时，有

x Scos

y Ssin

联立以上四个方程，求解可得小石子在空中飞行的时间（即从抛出到落在山坡上是所经历的时间）t所满足的方程为 t

2

2v0

sin tan cos t 0 g

解之得

t

2v0

sin tan cos g

但t 0时不可能的，因t 0时小石子刚刚抛出，所以小石子落在山坡的距离为

2

v0cos t2v0sin cos x

S 2

cos cos gcos

（2）给定v0和 值时，有S S ，求S的最大值，可令

22v0cos 2

0 2

gcos

dS

0，即 d

亦即

4

2

d2S

0，所以S有最大值，且最大值为 此时d 2

Smax

2v0 sin 1

gcos2

1-13一人扔石子的最大出手速度为v0 25m s 1。他能击中一个与他的手水平距离为

L 50m，高为h 13m处的目标吗?在这个距离上他能击中的最大高度是多少？ 解 设抛射角为 ，则已知条件如图1.5所示，于是石子的运动方程为

x (v0cos )t

12

y vsin t gt 0 2

可得到石子的轨迹方程为

gx2

y xtan 2 2

2v0cos

假若石子在给定距离上能击中目标，可令x L 此时有

gL2

y Ltan 2 2

2v0cos

即

gL2gL22

y 2tan Ltan 2

2v02v0

2

d2yv0dy

0，即在给定已以tan 为函数，令，此时2 0，有tan

dtan dtan gL

知条件及给定距离上能够击中目标的最大高度为ymax 12.3m，故在给定距离上不能击中

h 13m高度的目标。

1-14 如果把两个物体A和B分别以速度vOA和vOB抛出去，vOA与水平面的夹角为 ，vOB与水平面的夹角为 ，试证明在任意时刻物体B相对于物体A的速度为常矢量。 解 两物体在忽略风力的影响之后，将在一竖直面内做上抛运动，如图1.6所示，则两个物体的速度分别为

vA vOAcos i vOAsin gt j vB vOBcos i vOBsin gt j 所以在任意时刻物体B相对于物体A的速度为

vB vA vOBcos vOAcos i vOBsin vOAsin j

它是与时间无关的常矢量。

1-15 如果已测得上抛物体两次从两个方向经过两个给定点的时间，即可测出该处的重力加速度。若物体沿两个方向经过水平线A的时间间隔为 tA，而沿两个方向经过水平线A上方h处的另一水平线B的时间间隔为 tB，设在物体运动的范围内重力加速度为常量，试求该重力加速度的大小。需要采用一元二次方程求解公式。

解 设抛出物体的初速度为v0，抛射角为 ，建立如图1.7所示的坐标系，则

12

h vsin t gtA 0A A2

1 h vsin t gt2

B0BB 2

所以

2hA 22v0sin t t 0A A

gg

2vsin 2h t2 0tB B 0B

gg

于是有

tA

tB

此二式平方相减可得