2013年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

初中 数学 竞赛

2013年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.

计算 （B） （A

1 （B）1 （C

2.满足等式 2 m

m2 m 2

（D）2

1的所有实数m的和为（A）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

3.已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点， CAB 15， ABC的平分线交圆O于点D

，若CD ，则AB=（A） （A）2 （B

4.不定方程3x2 7xy 2x 5y 17 0的全部正整数角（x,y）的组数为（B）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

5矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在线段BC上，且BF：FC=1：2， AF分别与DE，DB交于点M，N，则MN=（C） （A

）

（C

）（D）3

（B

） （C

） （D

） 7142828

6.设n为正整数，若不超过n的正整数中质数的个数等于合个数，则称n为“好数”，那么，所有“好数”之和为（B） （A）33 （B）34 （C）2013 （D）2014

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.已知实数x,y,z满足x y 4,z 1 xy 2y 9,则x 2y 3z

2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n(n 2)个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 8 3.在ABC中， A 60, C 75,AB 10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则DEF的周长最小值为

4.如果实数x,y,z满足x y z xy yz zx 8，用A表示x y,y z,z x的

2

2

2

3

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最大值，则A的最大值为

3

第二试（A）

2222

一、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d满足2a 3c 2b 3d ad bc 6,求

2

a

2

b2 c2 d2 的值。

2

2

2

2

解：设m a2 b2,n c2 d2，则2m 3n 2a 2b 3c 3d 12.

2

因为 2m 3n 2m 3n 24mn 24mn，即12 24mn，所以

2

2

mn 6 ○1

22又因为mn a b

2

c

2

d2 a2c2 b2d2 a2d2 b2c2

2

ac bd ad bc ad bc 6 ○2

22由○1，○2可得mn 6.即a b

2

c

2

d2 6

注：符合条件的实数a,b,c,d

存在且不唯一，a b 1,c

就是一组。 d 二、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆O上，过点B、C作圆O的切线，交于点P，连AC，若OP

9PB

AC，求的值。 2AC

解：连OC，因为PC，PB为圆O的切线，所以∠POC=∠POB。

又因为OA=OC，所以∠OCA=∠OAC。

又因为∠COB=∠OCA+∠OAC，所以2∠POB=2∠OAC，所以∠POB=∠OAC，所以OP∥AC。 又∠POB=∠OAC，所以BAC又OP

POB，所以

ACAB

。 OBOP

9

AC，AB=2r，OB=r（r为圆O的半径），代入可求得 22

OP=3r,AC=r.

3

在RtPOB

中，由勾股定理可求得PB 。

所以

PB

2ACr3

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三、（本题满分25分）已知t是一元二次方程x x 1 0的一个根，若正整数a,b,m使得等式 at m bt m 31m成立，求ab的值。

解：因为t是一元二次方程x x 1 0的一个根，显然t是无理数，且t 1 t。 等式 at m bt m 31m即abt2 m a b t m2 31m，

2

ma b abt ab m 31m 0. 即ab 1 t m a b t m2 31m，即

2

22

a b 31 m, m a b ab 0,

因为a,b,m是正整数，t是无理数，所以 于是可得 22

ab 31m m. ab m 31m 0,

因此，a,b是关于x的一元二次方程x m 31 x 31m m 0的两个整数根，该方程

2

2

的判别式 m 31 431m m

2

2

31 m 31 5m 0.

31

. 5

又因为a,b是正整数，所以a b 31 m 0，从而可得0 m

又因为判别式 是一个完全平方数，验证可知，只有m 6符合要求。 把m 6代入可得ab 31m m 150.

第二试（B）

一、 （本题满分20分）

已知t 1，若正整数a,b,m使得等式 at m bt m 17m成立，求ab的值。

解：因为t

1，所以t 3

等式 at m bt m 17m即abt m a b t m 17m,

2

2

2

2

即ab3 m

a b

1 m2 17m，

2

ma b 2ab3ab ma b m 17m 整理得

0

a b 2 17 m ,

于是可得

2

ab 17m m.

a,b是关于x的一元二次方程x 2(m 17)x 17m m 0 ○因此，1的两个整数根，

方程○1的判别式 4 m 17 417m m

2

22

2

4 17 m 17 2m 0.

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又因为a,b,m是正整数，所以a b 2 17 m 0，从而可得0 m 又因为判别式 是一个完全平方数，验证可知，只有m 8符合要求， 把m 8代入得ab 17m m 72。

二、（本题满分25分）在 ABC中，AB>AC，O、I分别是 ABC的外心和内心，且满足AB-AC=2OI。求证：

（1）OI∥BC；

（2）S AOC S AOB 2S AOI。

证明（1）作OM⊥BC于M，IN⊥BC于N。 设BC=a，AC=b，AB=c。 易求得CM=

2

17 2

111

a，CN= a b c ，所以MN=CM-CN= c b =OI， 222

又MN恰好是两条平行线OM，IN之间的垂线段，所以OI也是两条平行线OM，IN之间的

垂线段，所以OI∥MN，所以OI∥BC。

（2）由（1）知OMNI是矩形，连接BI，CI，设OM=IN=r（即为 ABC的内切圆半径），则

S

AOC

S

AOI

AOB

S

AOI

S

COI

S

AIC

S

2S.

AIB

S

AOI

S

BOI

2S 2S

三

S

BOI

S

COI

S

AIC

S

AIBAOI

1111

OI r OI r AC r AB r2222

AOI

11

r OI b c 2S

22

本

2

AOI

、（题满分

2

25分）

2

若正数

a,b,c

代

满足

b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2

3

2bc2ca2ab

，求数式

b2 c2 a2c2 a2 b2a2 b2 c2

的值。

2bc2ca2ab

解：由于a,b,c具有轮换对称性，不妨设0 a b c. （1）若c a b，则c a b 0,c b a 0，从而得：

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c b a b2 c2 a2

1 1,

2bc2bc

2

2

c a b 1, c2 a2 b2

1

2ca2ca

2

2

a2 b2 a2 a b c

1 1,

2ab2ab

2

2

b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 所以 3，与已知条件矛盾。

2bc2ca2ab

（2）若c a b，则0 c a b,0 c b a，从而可得：

222

c b a b2 c2 a2

0 1 1,

2bc2bc

2

2

c a b 1, c2 a2 b2

0 1

2ca2ca

2

2

a b c a2 b2 c2

0 1 1,

2ab2ab

2

2

a2 b2 a2 a b c

1 1,

2ab2ab

2

2

b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 所以 3，与已知条件矛盾。

2bc2ca2ab

综合（1）（2）可知：一定有c a b.

222

b2 c2 a2c2 a2 b2a2 b2 c2

1, 1, 1 于是可得

2bc2ca2abb2 c2 a2c2 a2 b2a2 b2 c2

1. 所以

2bc2ca2ab