天津市一元函数微分竞赛试题解答

一元函数微分竞赛试题

一、填空题

1．（2001gj）设函数y?y(x)由方程ex?y?cos(xy)?0所确定，则dyx?0?．

y解：用x?0代入到方程ex?y?cos(xy)?0之中，有e?1?0，得y?0，

方程ex?y?cos(xy)?0两边同时求微分，有ex?y(dx?dy)?sin(xy)(ydx?xdy)?0， 将x?0、y?0代入上式，有dx?dyx?0?0，所以dyx?0??dx．

2．（2004gj）设函数y?y(x)由参数方程?

则?x?f(t)??，所确定，其中f(u)可导，且f?(0)?0，3t?y?f(e?1)dy

dxt?0? dyy?(t)3e3xf?(e3x?1)解：，由于f?(0)?0，所以 ??dxx?(t)f?(t)

dy dx3e3xf?(e3x?1)?f?(t)?3f?(0)?3． f?(0)

?1t?0t?03．（2014gj）设函数f(x)?2x?lnx，而x?f

解：当x?1时，y?2．而f?(1)?(2x?lnx)?(y)是y?f(x)的反函数，则dx1?(2?)xx?1y?2?． x?1?3，所以

[f?1(y)]?yy?2?1

f?(x)x?1?1，故dx3y?2?dy． 3

ln[1?

4．（2014gj）设函数y?f(x)在x?0的某个邻域内具有一阶连续的导数，若limx?0f(x)]sinx?2，xe?1则f??(0)? ． 解：由题设已知limf(x)f(x)?lim?0，于是f(0)?0、f?(0)?0．而 x?0sinxx?0x

f(x)f(x)ln[1?]f(x)f?(x)1f?(x)?f?(0)12?lim?lim?lim2?lim?lim?f??(0)，所以xx?0x?0x?0x?0x?0x2x2x2e?1x

f??(0)?4．

?x??(t),d2x5．（2003j）设?其中函数?(t)具有二阶导数，则2? 2y?kt,dy?

1

t???(t)???(t)dxx?(t)??(t)d2xd??(t)dt1???(t)t???(t)1解：，2?[． ??]???232?4ktdyy(t)2ktdt2ktdy2k2ktdyt

6．（2008j）设(x0，y0)是光滑曲线y?f(x)上一点，在该点处曲线的一个法向量为{5，?1}，则dy

dx(x0,y0)?．

?1， 5

(x0,y0)解：由法向量为{5，?1}，则曲线y?f(x)在点(x0，y0)处的法向量的斜率k1?于是曲线y?f(x)在点(x0，y0)处的切向量的斜率k??dy1?5，所以dxk1?5

?x?etsin2t,7．（2005g）曲线?在点(0，1)处的法线方程为 ． t?y?ecost

解：将x?0、y?1代入到方程之中，得参数t?0．

dy

dxt?0y?(t)?x?(t)t?0etcost?etsint?tesin2t?2etcos2t

dy

dxt?0t?0?1， 2曲线在点(0，1)处的切线斜率k??11，法线斜率k1????2， 2k

法线方程为：y?1??2(x?0)，即2x?y?1?0．

8．（2002gj）设摆线方程为??x?t?sint,? 则此曲线在t?处的法线方程为． 3?y?1?cost,

解：用t??

3代入到方程之中，得切点坐标x0??

3?11、y0?1??． 222

1

，法线方程为 切线斜率k?dy

dxt??/3?sint

1?costt??/3?，法线斜率为?

y?1?11?x?． ??(x??)，即y??23233

22y

x9．（2005j）设函数y?y(x)由方程x?y?e所确定，则曲线y?y(x)在点(1，0)处的法

线方程为 ．

解：方程x?y?e22y

x两边取对数，有1yln(x2?y2)?arctan，该等式两边同时对x求导，2x

2

有x?yy?xy??y，用x?1、y?0代入，得1?y?(1)，即切线斜率k?1，法线斜率k1??1，?222x?y1?(y/x)

所以法线方程为y?0??(x?1)，即x?y?1?0．

10．（2008g）设函数y?y(x)由方程sin(xy)?1?1所确定，则曲线y?y(x)上对应x?0处的y?x

切线方程是 ．

解：将x?0代入到方程之中，有?1?1，得y(0)??1． y(0)

方程sinxy()?1dy1dy?1同时对x求导，有cos(xy)(y?x)?(?1)?0，用y?xdx(y?x)2dx

dydxx?0x?0、y??1代入，有?1??1?0，得dy

dxx?0?2，则切线斜率k?2，所以切线方程为

y?1?2(x?0)，即y?2x?1．

?

11．（2007j）对数螺线??e在点(?， )?(e2)处的切线的直角坐标系下的方程是 ． ?

2

?x?e cos ，? ?解：将对数螺线??e改写为参数方程为? 所给点对应，于是切点在直角坐标 2y?esin ，?

?

系的坐标为x0?0，y0?e2．

dydyy?( )e (si n?co s)sin ?co s ，切线斜率?? ?dxdxx?( )e(co s?sins?sin )co

?? ??/2??1，所以切线方程为

y?e2??1(x?0)，即x?y?e2．

12．（2008gj）设f(0)?0，f?(0)?0，则极限lim[n??f(1/n)n]? f(0)

解：设xn?[f(1/n)n]，则 f(0)

1lnf(1/n)?lnf(0)limlnxn?limn[lnf()?lnf(0)]?lim n??n??n??n1/n

?[lnf(x)]?x?0?f?(x)

f(x)x?0?f?(0)?0， f(0)

3

所以，limf(1/n)

n??[f(0)]n?e0?1．

13．（2014j）设y?sin4x?cos4x，则y(n)?

解：化简函数y?sin4x?cos4x?(sin2x?cos2x)2?2sin2xcos2x?1?sin22x

2

?1?11?cos4x

22?3

4?1

4cos4x， 于是

y(n)?(3

4?1

4cos4x)(n)?0?1

4cos4(x?n?

2)?4n?4n?1cos4(x?n?

2)．

14．（2009gj）设函数f(x)?x4x，则使得f(n)(0)存在的最大自然数n?． 解：当x?0时，f(x)????x5，x?0，??5x4，x?0，??20x3，

?x5，x?0， f?(x)???5x4，x?0， f??(x)???20x3，

f???(x)????60x2，x?0，(4)

?60x2，x?0， f(x)????120x，x?0，

?120x，x?0.

在x?0点：

f0)

??(0)?limf(x)?f(

?x?lim(?x4)?0， x?0x?0?

f?f(x

xlim)?f(0)??(0)?0?x?xlim?0?x4?0，

于是函数f(x)在x?0点有一阶导数，且f?(0)?0；

ff?(x)?f?(0)

???(0)?xlim?0?x?xlim?0?(?5x3)?0，

f??(0)?f?(x)?f?(0)

?xlim?0?x?xlim?0?5x3?0，

于是函数f(x)在x?0点有二阶导数，且f??(0)?0；

ff??(x)?f??(0)

????(0)?xlim?0?x?xlim?0?(?20x2)?0

ff??(x)?f??(0)2

????(0)?xlim?0?x?xlim?0?20x?0，

于是函数f(x)在x?0点有三阶导数，且f???(0)?0；

f(4)f???(x)?f???(0)

?(0)?xlim?0?x?xlim?0?(?60x)?0

f(4)(0)?f???(x

xlim)?f???(0)??0?x?xlim?0?60x?0，

4 x?0，x?0，，，

于是函数f(x)在x?0点有四阶导数，且f

(5)

?(4)(0)?0； f(0)?li?x?0f(4)(x)?f(4)(0)?12x0， ?li??120?x?0xx

f(5)

?f(4)(x)?f(4)(0)120x(0)?lim?lim?120．

x?0?x?0?xx

因为f?(5)(0)?f?(5)(0)，于是f(x)在x?0点的五阶导数不存在，所以对函数f(x)?x4x，使得f(n)(0)存在的最大自然数n?4．

(4)或者：当x?0时，f?(x)?5x3xf??(x)?20x2xf???(x)?60xxf(x)?x．

f(x)?f(0)?limx3x?0； x?0x?0x

f?(x)?f?(0)?lim5x2x?0； f??(0)?limx?0x?0x

f??(x)?f??(0)???f(0)?lim?lim20xx?0； x?0x?0x

f???(x)?f???(0)(4)?lim60x?0； f(0)?limx?0x?0x f?(0)?lixf(4)(x)?f(4)(0) 而lim不存在，由此可见f(4)(0)存在，f(5)(0)不存在，所以使?limx?0x?0xx

得f(n)(0)存在的最大自然数n?4．

f(x)?2，则f??(0)? ． x?01?cosx15．（2012j）设函数f(x)在点x?0处有二阶导数，且lim

解：由limf(x)存在，及函数f(x)在点x?0处可导，根据分母极限为零，得f(0)?0． x?01?cosx

f(x)f(x)f?(x)f?(x)?lim2?2lim?2，即lim?2，再由该极限的分母极限为零而limx?01?cosxx?0x/2x?02xx?0x

及f(x)在点x?0处有二阶导数，得f?(0)?0．

f??(0)?limx?0f?(x)?f?(0)f?(x)?lim?2． x?0x?0x

?1??x2?16．（2006j）若f(x)??ex?cosx,x?0,是区间(??，??)上的连续函数，则a?．

?ae?sinx,x?0?

（注：本题提法错误，应将区间(??，??)改为(?1，函数也不妥当，最好改为 ，1)）

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