小题大做

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小题大做

高考源于课本而高于课本，很多高考题都是由课本中的例题、

习题演化而来的。而课本中的习题看似普通、简单，但是它们就像一

个金矿的入口一样，背后潜藏着一个巨大的金矿，你一旦把窗和门打

开，你的前面就是一座宝藏。下面我们来看这样一道题：8 2x2 x＞ 1

这是一道无理不等式问题，它的常规解法是：将上述不等式转化为不

等式组x2 0x2 0

8-2x2 ＞ (x-1)2 x-1 0 或x-1＜0

由第一个不等式得： 1 x 1 22 3

由第二个不等式得： -2 x＜1

上述不等式解集为： -2， 1 22

由于现在高考对无理不等式的解法不作要求，学生不容易转化成上述

两个不等式组求并集。另外，即使能得到这两个不等式组，其解法也

是十分繁琐的，很难保证正确率。

现在我们来看另一种解法：构造两个函数y=8 2x2和y= x-1.

那么刚才这个问题就变成了比较这两个函数的大小了。大家注意，第

一个函数是椭圆的上半部分，第二个函数是一条直线（如图）,那么，

现在就将求不等式解集问题转化为求解交点问题了。即：

8 2x2 x=

y= x-1

不等式的解集为 -2， 1 22

31 221 22或x= (舍) 33

可以看出第二种解法简洁、正确率高，更重要的是它体现了数学的一

种重要的思想，就是数形结合。

现在我们再来看看它的一些变化。如果我将上式中的-1换成a，即： 2x2＞x+a 那么刚才提到的第一种解法几乎是无能为力了，因为这个a变化多

端，每一次变化都给这种解法带来灭顶之灾。我来解释一下吧，将上

述不等式转化为

x2 0x2 0

0 或8-2x2 ＞（x+a）2＜0

我们先看第一个不等式组，化简后得 x≤2 ①

-a ②

3x2+2ax+a2-8＜0 ③

先看③式：3x2+2ax+a2-8＜0 要解这个不等式是不是要讨论a?讨论

结束后还不算完，还要讨论a与±2的大小关系，你想不崩溃都难！

但是你要利用第二种解法就好多了。构造两个函数 Y= 8 2x2和

Y= x+a 。前面讲过Y= 2x2是椭圆的上半部分，Y= x+a是一组

平行直线，斜率为1.（如图）

通过图形可以看出，当x 2时，无解；

a 24 2a2 a 24 2a2 当2≤a＜2时，＜x＜； 33

a 24 2a2 当-2≤a＜2时，-2 x＜； 3

当a＜-2时，-2 x 2.

这个题在高考中应该是一种比较有难度，而且也是常常见到的题目，

就是分类讨论。

顺着这个题我们再逆向思维。已知不等式 2x2＞x+a的解集是 2,2 ，求a的取值范围。

请大家再看刚才的图，这个不等式的解集是 2,2 ，就是说在 2,2 这

个区间上，这个椭圆的上半部分始终在这条直线的上方，从图上一看，

答案不用动手，就出来了a＜-2.

现在我们再看它的第二种变化。已知方程8 2x2= x+a，当a满足什么条件时

（1）方程恒有解；

（2）方程恒有两解。

分析;还是看刚才那个图，虽然现在是求方程解的问题，但是当我们

将它纳入到函数的背景下就会发现，这两个题目完全是同一种题目，

所谓方程恒有解，不就是直线与椭圆的上半部分恒有交点吗？因此

-2 a≤2；所谓方程恒有两个解，就是直线与椭圆的上半部分恒

有两个不同的交点，所以2≤a＜2，根本不用计算。而这个题目就

是有一年高考中一个很难的题目。

通过上面的叙述，我有两点感悟：其一，函数是高中数学的核

心知识，在函数的观点下，可以将方程和不等式统一起来。如果我们

能把要解决的具体问题归纳为函数问题就可以把一些局部的问题拿

到高瞻远瞩的全局上去解决，所有的局部的问题就变得很简单了；另

一方面，能够把静态的问题放到波澜壮阔的动态的过程中去研究，问

题的解决自然也就水到渠成了。其二，高三的复习，不是简单的知识

的堆砌。只有找到知识的切入点，通过一题多解，多题一解才能更好

的促进各部分知识有机的联系，强化学生的知识网。

孙埠中学杨铁林

2011.10

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