三级倒立摆的LQG最优控制应用研究_叶建斌

三级倒立摆的LQG最优控制应用研究

叶建斌 郭鸿武

（国防科学技术大学机电工程与自动化学院，长沙 410073）

摘 要 本文针对三级倒立摆的强耦合不稳定性，应用线性二次型高斯最优控制的方法, 设计了LQG控制器,对其进行仿真研究，仿真结果表明设计的控制器能很好的对倒立摆进行稳定控制，且具有较好的抑制噪声和抗干扰能力。

关 键 词 三级倒立摆系统；LQG最优控制；Matlab 仿真

The applications research of thriple

inverted pendulum based on LQG optimal control

Ye Jianbin Guo Hongwu

（College of Mechatronics and Automation of NUDT，Changsha 410073,China）

Abstract This paper contrapose the strong coupling and non-stability of thriple inverted pendulum,using the theory of linear quadratic Gauss optimal control for simulation,design a LQG Controller,and experiment show that the presented method is effective,and the system has good restrain noise and good robustness.

Key Words triple inverted pendulum system; LQG Optimal control;Matlab simulation

引言

三级倒立摆自身是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，近年来一直都是控制领域研究的热点。由于倒立摆系统与火箭发射助推器和双足机器人控制有很大相似性，而且许多抽象的理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，因此对倒立摆的研究具有重要的理论和实践意义。

目前对三级倒立摆控制研究较多的是线性二次最优控制（LQR）方法，文献[2]重点研究了三级倒立摆系统LQR方法的加权阵Q的选择，文献[3]对三级倒立摆的数学模型设计了模糊控制器和LQR控制器的混合控制器，并进行了仿真，文献[4]就二级倒立摆的线性化数学模型设计了最优控制器并仿真。

考虑到对三级倒立摆进行控制的时候，总是需要先将摆杆扶到倒立位置，系统才开始控制，此时外界（手）的作用力相当于加在摆杆上的一个噪声干扰，再加上每根摆杆连接处传感器及小车位置传感器的量测误差，这些对系统的稳定控制都产生了较大的影响。本文以固高三级倒立摆系统为对象，先建立三级倒立摆的动力学非线性数学模型，而后利用线性二次型高斯控制器(LQG）实现了三级倒立摆的动态平衡。仿真结果表明，该控制系统取得了预期的效果。

1 倒立摆数学模型

1.1系统组成

固高倒立摆控制系统包括1－小车、2－摆杆、3－直流力矩电机、4－轴角编码器、5－驱动和接口装置、6－控制计算机等部分，如图1所示。小车在水平轨道上，由电机驱动通过滑轮牵引皮带来控制其作直线运动，小车的位置可由钢丝带动的光电码盘的测量信号转换得到。摆杆的倾斜角度则可由在支点处同轴安装的光电码盘测出。 [1]

作者简介：叶建斌,男,1985,籍贯福建,硕士生,主要研究方向为精确制导与控制.

郭鸿武,男,1973,籍贯广西,副教授,主要研究方向为精确制导与控制.

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图1 固高倒立摆控制系统实验装置

1.2三级倒立摆非线性模型

为使系统的模型不致过于复杂，针对问题本质，首先作以下假设：摆杆及小车都是刚体，且摆杆为匀质刚体；小车的牵引机构是理想的。直线三级倒立摆模型结构如图2所示。在实验过程中，由于各摆杆间的质量块（即测角度传感器）相对摆杆质量来说，对系统的影响非常大，以及系统的摩擦对系统也有较大影响，故在建模中重点考虑了各摆杆间的质量块和系统的摩擦，使模型更加接

近实际系统。

图2 直线三级倒立摆模型结构

倒立摆参数定义如下:

f3 摆杆3与转轴间的摩擦 m0 小车质量

m1 摆杆1的质量 l1 摆杆1中心到转动中心的距离

m2 摆杆2的质量 l2 摆杆2中心到转动中心的距离

m3 摆杆3的质量 l3 摆杆3中心到转动中心的距离

m4 质量块1的质量 Ji 摆杆i的转动惯量

m5 质量块2的质量 θi 摆杆i与竖直方向的夹角 f0 小车与导轨间的摩擦

F 作用在系统上的外力 f1 摆杆1与转轴间的摩擦

f2 摆杆2与转轴间的摩擦

利用拉格朗口方程推导运动学方程，倒立摆系统的拉格朗日方程为：

&)=T(q,q&)?V(q,q&) (1) L(q,q

其中，L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标，对于直线三级倒立摆为(x,θ1,θ2,θ3)。T为系统的动能，V为系统的势能，其中零势能面取摆杆支点所在水平面。拉格朗日方程由广义坐标q i和L表示为

d?L?L?D

+=Fqi (2) ()?

&i&i?qi?qdt?q

其中，i=1,2,3Ln,，n为倒立摆系统的自由度，D为系统总耗散能，

Fqi

为系统沿该广义

坐标方向上的外力，对直线三级倒立摆，有Fx=u?f0x&,Fθ1=0,Fθ2=0,Fθ3=0.

先计算系统的动能：

22

??1d(x?lsinθ)d(lcosθ)11????21111&2&T=m0x+m1??+?+m1l12θ?1???622?dtdt??????22

1??d(x?2l1sinθ1?l2sinθ2)??d(2l1cosθ1+l2cosθ2)??+m2???+????2??dtdt?????

221??d(x?2l1sinθ1?2l1sinθ2?l3sinθ3)??d(2l1cosθ1+2l2cosθ2+l3cosθ3)??+m3??+?????2??dtdt?????22111??d(x?2l1sinθ1)??d(2l1cosθ1)??2&22&2

+m2l2θ2+m3l3θ3+m4???+????dtdt662???????221??d(x?2l1sinθ1?2l1sinθ2)??d(2l1cosθ1+2l2cosθ2)??+m5???+????2??dtdt?????

(3)

系统的势能为：

V=m1gl1cosθ1+m2g(2l1cosθ1+l2cosθ2)+m3g(2l1cosθ1

+2l2cosθ2+l3cosθ3)+m4g2l1cosθ1+m5g(2l1cosθ1+2l2cosθ2)

系统的损耗能为：

(4)

D=

11&21&?θ&)2+1f(θ&?θ&)2 (5) &2+f1θf0xf(+θ1221332

2222

将L=T-V和D的表达示代入方程(2),得到系统的非线性微分方程如下

&&cosθ?(a+b)θ&&cosθ?bθ&&a0&&x?(a1+b1)θ11222233cosθ3

(6)

222&&&&=F+(a1+b1)θ1sinθ1+(a2+b2)θ2sinθ2+b3θ3sinθ3+2f0x

&&+2allθ&&&&?(a1+b1)&&xcosθ1?(2a1l1+c1)θ13122cos(θ1?θ2)+2b3l1θ3cos(θ1?θ3)

(7)

22&&&&+2a3l1l2θ2sin(θ1?θ2)+2b3l1θ3sin(θ1?θ3)?(a1+b1)gsinθ1+(f1+f2)θ1?f2θ2=0

&&cos(θ?θ)+(2al+c)θ&&+2blθ&&?(a2+b2)&&xcosθ2+2a3l1l2θ1122222323cos(θ2?θ3)&2sin(θ?θ)+2blθ&2&&&?2a3l1l2θ112323sin(θ2?θ3)?(a2+b2)gsinθ2?f2θ1+(f2?f3)θ2+f3θ3=0

(8)

&&cos(θ?θ)+2blθ&&&&?b3&&xcosθ3+2b3l1θ113322cos(θ2?θ3)+c3θ3

(9)

22&&&&?2b3l1θ1sin(θ1?θ3)?2b3l2θ2sin(θ2?θ3)?b3gsinθ3+f3(θ3?θ2)=0

其中a0=∑mi,a1=2l1∑mi,a2=2l2(m3+m5),

i=0i=255

a3=m2+2m3+2m5,bi=mili,ci=mili2+Ji,(i=1,2,3)

1.3 系统在平衡点处线性化后的状态方程

&,θ&,θ&}&,θX={x,θ,θ,θ,x123123,代入系统参数，并在系统平衡点选择系统的状态变量为

（X=0）附近进行线性化，得到系统的状态方程：

&(t)=Ax(t)+Bu(t)x

y(t)=Cx(t)+Du(t)

其中： (10)

A=[ 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0.08256 -19.25887 19.46906 -0.00332 -0.07992 0.30309 -0.22344 0 5.92430 0.02357 0.00528 -0.17782 -0.03737 0.01803 0.000036 0 183.89786 -83.36183 0.025198 -1.13535 -1.50669 1.18700 -0.27944 0 -112.0799 120.53752 -7.90254 -0.00607 1.20576 -1.30887 0.46827 ]; B=[0 0 0 0 0.01658 0.88911 5.67676 0.03037]'

C=[1 0 0 0 0 0 0 0;

0 1 0 0 0 0 0 0;

0 0 1 0 0 0 0 0;

0 0 0 1 0 0 0 0];

D=[0; 0; 0; 0];

2线性二次型高斯最优控制

考虑系统随机输入噪声与随机噪声的线性二次型的最优控制叫线性二次型高斯最优控制（LQG），用卡尔曼滤波器观测系统状态。这是一种输出反馈控制，对解决线性二次型最优高斯控制问题更具有实用性。

2.1 LQG最优控制原理

对于上述三级倒立摆系统，考虑干扰噪声和量测噪声的状态方程为

&(t)=Ax(t)+Bu(t)+Γω(t)x

y(t)=Cx(t)+Du(t)+v(t)

式中， ω(t)为系统干扰噪声；v(t)为传感器带来的量测噪声。 (11)

根据LQG问题的分离原理，典型的线性二次型高斯最优控制的解可以分解为两个问题， 即LQ最优状态反馈控制问题和带有扰动的状态估计问题。

2.2线性二次型最优控制器的设计

对状态方程(11)，使控制性能指标：J=1∞TT(()()(t)Ru(t))dt达到最小，xtQxt+u∫02

?1Tu(t)=?KX=?RBPx的反馈矩阵K。其中，Q，R为正定（或半正即要确定最佳控制量

定）的厄米特或实对称矩阵；K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必须满足黎卡提方程PA+AP?PBRBP+Q=0的解。Q，R分别是系统状态变量和控制量的加权矩[5]T?1

阵，权矩阵Q对角线上各权系数代表各项指标误差的相对重要性；R代表了能量损耗的相对重要性，其作用在于限制控制器的输出不至太大而导致难于控制。

根据式(11)，为满足系统稳定性控制的要求，权矩阵Q中与各主要被控量相对应的权系

[2]数一般取值较大，并且当Q矩阵的值较大时，系统能更快地达到稳定状态。通过大量的仿

真实验，发现Q矩阵的值在一定范围内越大系统的调节时间就越短，但当其过大时会造成比较大的抖动；考虑到小车的速度和三根摆杆的角度对控制系统的影响较大，这里取Q=diag(5000,3000,2000,4000,0,0,0,0) ，R=1求出最优状态反馈矩阵：

K=[ 70.7 339 -593.5 1719.7 -91.5 23.2 -24.1 276.1]

2.3 Kalman滤波器的设计

Kalman滤波器就是最优观测器，能够抑制或滤掉噪声对系统的干扰和影响。利用Kalman滤波器对系统进行最优控制是非常有效的。三级倒立摆系统在考虑干扰噪声ω(t)和量测[6]

噪声v(t)时，采用LQG控制器能更好的对系统实施控制。

根据Kalman滤波理论，Kalman滤波器的增益矩阵L=PfCΘ，其中Pf满足黎卡提方程PfA+APf?PfCΘCPf+ΓΞΓ=0，且Pf=Pf≥0，Ξ=E[ω(t)ω(t)]≥0，TT?1TTTT?1Θ=E[v(t)vT(t)]≥0。

对于LQG控制器，干扰噪声可视为从输入端加入，当对三级倒立摆进行控制的时候，要将倒立摆扶到倒立位置，此时相对输出量测噪声来说它对系统的影响较大，随着系统的逐渐稳定，干扰噪声相对输出量测噪声对系统的影响也逐渐减小。假定这些噪声信号为零均值的Gauss过程，并假设ω(t)和v(t)为相互独立的随机变量[7]；因此根据输入、输出信号的幅值范围，可选定干扰噪声ω(t)的协方差Ξ=2，量测噪声v(t)的协方差Θ=[1 0 0 0;0 1 0 0; 0 0 1 0;0 0 0 1]，Γ为干扰噪声项ω(t)的系数，在式（11）中值为1。由此可求得卡尔曼滤波器的估计增益: