数学中考专题复习——《动点问题》教案

中考专题复习——动点问题

【学情分析】

动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论

【教学目标】

知识与技能：

1、利用特殊三角形的性质和定理解决动点问题；

2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）；

3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据。

过程与方法：

1、利用分类讨论的方法分析并解决问题；

2、数形结合、方程思想的运用。

情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。

【教学重点】

根据动点中的移动距离，找出等量列方程。

【教学难点】

1、两点同时运动时的距离变化；2、运动题型中的分类讨论

【教学方法】教师引导、自主思考

【教学过程】

一、 动点问题的近况：

1、动态几何

图形中的点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.

动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。所谓动点问题：是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放新题目。

2、三年中考概况；

近年来运动问题是以三角形或四边形为背景，用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题．这类题的特点是：图形中的某些元素(如点、线段、角等)或整个图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中相互依存，相互制约．

3、解题策略和方法：

“动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。解决动点问题的关键是“动中求静”.动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

4、动点问题所用的数学思想：

解决运动型问题常用的数学思想是方程思想，数学建模思想，函数思想，转化思想等；常用的数学方法有：分类讨论法，数形结合法等。

二、探究新知

1、一个动点：图形中一个动点所形成的等腰三角形

【自主探究】

例1、如图：已知平行四边形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°

(1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s。

若设运动时间为t(s)，连接PC,当t为何值时，△PBC为等腰三角形？

分析：若三角形PBC为等腰三角形

则PB=BC

7-t=4

t=3 AB

温馨提示：等腰三角形的性质：腰相等、底角相等、三线合一

教师活动：利用几何画板进行动态演示，在某一时刻静止，让学生观察图形的特点，利用等腰三角形的性质解决问题。

学生活动：仔细观察几何画板中图形的运动过程，在静止时刻时，图形的

特点，将相关线段用含有t的式子表示出来，从而列出方程。

归纳方法：1、定图形；2、t已知；3、列方程。

【合作探究】

变式：若点P从点A沿射线AB边向点B运动，速度为1cm/s。当t为何D

值时，△PBC为等腰三角形？

AB

学生活动：小组合作探究点P在射线上运动所形成几种情况，在利用（1）

中得到方法。尽可能的将画出静止时的图形，从而解决问题。

教师活动：利用几何画板展示几种情况。

2、两个动点：图形中有两个动点的情况。

【自主探究】

例2：:如图．△ABC中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°，动点P、Q分别从A、B两点同时出发．分别沿AB、BC方向匀速移动；它们的速度分别为2cm/s和1cm/s．当点P到达点B时．P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当t为 ______时，△PBQ为直角三角形．

P8师：1、根据刚才的方法，请同学们试着画出静态图形，注意两个动点的速度问题。（两名学生在黑板上板演）

2、用代数式表示图中有用的线段：AP=2t,BQ=t,所以：BP=6-2t。（学生讲解）

3、找出等量关系（三角函数关系），构建方程模型。

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温馨提示：含有30度的直角三角形的性质；

教师活动：利用几何画板演示动态图形，让学生能感知静态时的图形。 学生活动：画出静态时的图形，并试着列出方程。

【变换拓展】

4（2014?新疆）如图，直线?x?8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动 3点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同

时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．

（1）写出A，B两点的坐标；

（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函

数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？

（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形

与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）分别令y=0，x=0求解即可得到点A、B的坐标；

（2）利用勾股定理列式求出AB，然后表示出AP、AQ，再利用∠OAB的正弦求出点Q到AP的距离，然后利用三角形的面积列式整理即可得解；

（3）根据相似三角形对应角相等，分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况，利用∠OAB的余弦列式计算即可得解．

师：对于第一道题快速解决即可。

解：（1）令y=0，则﹣x+8=0，

解得x=6，

x=0时，y=y=8，

∴OA=6，OB=8，

∴点A（6，0），B（0，8）；

师：对于第二道题只需求解出三角形APQ的高，做出图形的高，发现三角形APQ 与三角形AOB是相似三角形，利用相似比解决问题，得出高后，利用三角形面积公式表示出S与t的关系式，发现是一个开口向下的抛物线，顶点是（5,20），注意自变量t的取值范围，再求解最大面积。此题对学生进行一定的引导。

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB===10，记点Q到AP的距离为h ∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，

∴AP=2t，

AQ=AB﹣BQ=10﹣t，而三角形APQ与三角形AOB相似，

∴hAQh10?t? ∴? ∴h=（10﹣t） OBAB810

22∴△AQP的面积S=×2t×（10﹣t）=﹣（t﹣10t）=﹣（t﹣5）+20，

∵﹣＜0，顶点为（5,20）而0＜t≤3，

∴当t=3时，△AQP的面积最大，S最大=﹣（3﹣5）+20=2；

师：对于第三题：让学生讲解画图——引导其讲解等量关系是：三角形相似比——列出方程。

（3）若∠APQ=90°，则cos∠OAB=

∴解得t==， ，

， ， 若∠AQP=90°，则cos∠OAB=

∴

解得t==， ，

∵0＜t≤3，

∴t的值为，

=，

）×=

），

，） ， 此时，OP=6﹣2×PQ=AP?tan∠OAB=（2×∴点Q的坐标为（综上所述，t=

，秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐标为（

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，三角形的面积，二次函数的最值问题，相似三角形对应角相等的性质，锐角三角函数，（2）要注意根据t的取值范围求三角形的面积的最大值，（3）难点在于要分情况讨论

三、课堂小结

本节课主要探究了动态几何中的动点问题，其实是在动中求静，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径，总结：定图形、t已知、列方程。

解决运动型问题常用的数学思想是方程思想，数学建模思想，函数思想，转化思想等；常用的数学方法有：分类讨论法，数形结合法等.。