13新昌实验张启明 2008年中考数学方案设计型试题专题解析
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13新昌实验张启明 2008年中考数学方案设计型试题专题解析
2008年中考数学方案设计型试题专题解析
(新昌实验中学 张启明)
【方案设计型试题的特点】
方案设计型试题是通过设置一个实际问题的情景,给出若干信息,提出解决问题的要求,运用数学知识设计恰当的解决方案,以求得最好的实用效果或最大的经济效益的试题形式。方案设计型试题是近几年中考的热点问题之一,它贴近生活,具有较强的操作性和实践性,解决此类问题时,要注意先思考,后动手,防止盲目尝试,问题的结果不一定唯一,但必须符合实际情况。方案设计型问题能培养学生的自信心、科学精神、创造意识和实践能力,可以改变以往单纯的依赖模仿与记忆的学习方式,有利于形成“动手实践、自主探索与合作交流”的新的学习方法。
【方案设计型试题解题策略】
方案设计型试题不仅要求学生有扎实的数学基础知识,而且能够把实际问题转化、抽象成具体的数学问题;它综合考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等.能与初中所学的重点知识进行联结.
具体解法可灵活选择建立方程模型,不等式模型,函数模型,几何模型,统计模型等,依据所建的数学模型求解,从而设计方案,科学决策。
【方案设计型试题归类探究】
一、利用不等式进行方案设计
不等式(组)方案设计应用题,涉及知识面广,综合性强,所要讨论的问题大多是要求出某个变量的取值范围或极端可能性;涉及我们日常生活的广告宣传,经济决策,文化娱乐,商品买卖,物贸分配等多个方面,解题关键是建立不等式模型,同时注意运用方程,代数等方面的知识.
1、(2008·青岛)2008年8月,北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行.观看帆船比赛的船票分为两种:A种船票600元/张,B种船票120元/张.某旅行社要为一个旅行团代购部分船票,在购票不超过5000元的情况下,购买A、B两种船票共15张,要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半.若设购买A种船票x张,请你解答下列问题:
(1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程;
1
(2)根据计算判断:哪种购票方案更省钱?
15?x?,?x?解:设 A种票x张,则B种票(15-x)张.根据题意得:? 2?.?600x?120(15?x)?5000
解得5≤x≤20 3
∴满足条件的x为5或6.
∴共有两种购买方案:
方案一:A种票5张,B种票10张,
方案二:A种票6张,B种票9张。
(2)方案一购票费用:600×5+120×10=4200(元)
方案二购票费用:600×6+120×9=4680(元),
∵4200<4680,∴方案一更省钱.
2.(2008·怀化)5·12四川地震后,怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作. 拟派30名医护人员,携带20件行李(药品、器械),租用甲、乙两种型号的汽车共8辆,日夜兼程赶赴灾区.经了解,甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李,乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李.
(1)设租用甲种汽车x辆,请你设计所有可能的租车方案;
(2)如果甲、乙两种汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元,请你选择最省钱的租车方案.
解:(1)因为租用甲种汽车为x辆,则租用乙种汽车?8?x?辆.
??4x?2?8?x?≥30,由题意,得?
??3x?8?8?x?≥20.
44解之,得7?x?. 5 即共有两种租车方案:
第一种是租用甲种汽车7辆,乙种汽车1辆;
第二种是全部租用甲种汽车8辆
(2)第一种租车方案的费用为7?8000?1?6000?62000元
第二种租车方案的费用为8?8000?64000元
2
所以第一种租车方案最省钱
3、(2008·扬州)某校师生积极为汶川地震灾区捐款,在得知灾区急需帐篷后,立即到当地的一家帐篷厂采购,帐篷有两种规格:可供3人居住的小帐篷,价格每顶160元;可供10人居住的大帐篷,价格每顶400元。学校花去捐款96000元,正好可供2300人临时居住.
(1)求该校采购了多少顶3人小帐篷,多少顶10人大帐篷;
(2)学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区,已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷,乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷。如何安排甲、乙两种卡车可一次性将这批帐篷运往灾区?有哪几种方案? (解略)
二、利用函数进行方案设计
此类问题的一般步骤:(1)根据题意建立一次函数关系式;(2)根据实际意义建立不等式组,求不等式组的正整数解;(3)根据求到的解,利用一次函数的性质求最大最小值。
1、(2008·连云港)“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市,两厂原来每周生产帐篷共9千顶,现某地震灾区急需帐篷14千顶,该集团决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加点,总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的
1.6倍、1.5倍,恰好按时完成了这项任务.
(1)在赶制帐篷的一周内,总厂和分厂各生产帐篷多少千顶?
(2)现要将这些帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A,B两地,由于两市通住A,B两地道路的路况不同,卡车的运载量也不同.已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数如下表:
内容需要下载文档才能查看请设计一种运送方案,使所需的车辆总数最少.说明理由,并求出最少车辆总数. 解:(1)设总厂原来每周制作帐篷x千顶,分厂原来每周制作帐篷y千顶.
3
?x?y?9,由题意,得?
?1.6x?1.5y?14.
?x?5,解得?所以1.6x?8(千顶),1.5y?6(千顶). y?4.?
答:在赶制帐篷的一周内,总厂、分厂各生产帐篷8千顶、6千顶.
(2)设从(甲市)总厂调配m千顶帐篷到灾区的A地,则总厂调配到灾区B地的帐篷为
(乙市)分厂调配到灾区A,B两地的帐篷分别为(9?m),(8?m)千顶,(m?3)千顶.
甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为n辆.
由题意,得n?4m?7(8?m)?3(9?m)?5(m?3)(3≤m≤8).
即n??m?68(3≤m≤8).
因为?1?0,所以n随m的增大而减小.
所以,当m?8时,n有最小值60.
答:从总厂运送到灾区A地帐篷8千顶,从分厂运送到灾区A,B两地帐篷分别为1千顶、5千顶时所用车辆最少,最少的车辆为60辆。
2、(2008·双柏)我县农业结构调整取得了巨大成功,今年水果又喜获丰收,某乡组织30辆汽车装运,A、B、C、三种水果共64吨到外地销售,规定每辆汽车只装运一种水果,且必须装满;又装运每种水果的汽车不少于4辆;同时,装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和.
(1)设用x辆汽车装运A种水果,用y辆汽车装运B种水果,根据下表提供的信息,求y与x的函数关系并写出自变量取值范围.
内容需要下载文档才能查看(2)设此次外销活动的利润为Q(万元),求Q与x之间的函数关系式,请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案.
解: (1)由题得到:2.2x+2.1y+2(30-x-y)=64.
所以,y=-2x+40.
又x≥4,y≥4,30-x-y≥4,得到14≤x≤18.
4
(2)Q=6x+8y+5(30-x-y)=x+3y+150=-5x+270.
Q随着x的减小而增大,又14≤x≤18,所以当x=14时,Q取得最大值。 即Q=-5x+270=200(百元)=2万元 因此,当x=14,y=-2x+40=12,30-x-y=4.
所以,应这样安排:A种水果用14辆车,B种水果用12辆车,C种水果用4辆车。
3、(2008·徐州)为缓解油价上涨给出租车待业带来的成本压力,某巿自2007年11月17
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设行驶路程xkm时,调价前的运价y1(元),调价后的运价为y2表示y2与x之间的函数关系式,线段EF表示当0≤x≤3时,y1与x的函数关系式,根据图表信息,完成下列各题:
①填空:a=______,b=______,c=_______.
②写出当x>3时,y1与x的关系,并在上图中画出该函数的图象.
③函数y1与y2的图象是否存在交点?若存在,求出交点的坐标,并说明该点的实际意义,若不存在请说明理由.
解:(1) a=7, b=1.4, c=2.1 (2)y1?2.1x?0.3 (3)有交点为(
三、利用几何作图进行方案设计
利用几何作图进行方案设计,不仅要有一定的几何作图能力,而且要能熟练的运用几何的有关性质,并注意充分发挥分类讨论,类比归纳,猜想验证等数学思想方法进行解题.
1、(2008·莆田)某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园,要
5
313131
,9)其意义为当x?时是方案调价前合算,当x?时方案调价后合算. 777
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