中考规律探究题的解题方法

中考规律探究题的解题方法

新课标核心要求：用代数式表示数量关系及所反映的规律，发展学生的抽象思维能力。根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。数式规律探究

通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：

1、一般地，常用字母n为正整数，从1开始。

2、在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1… 奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…

偶数…2n-2,2n,2n+2…

3、熟记常用的规律

n(n?1)

2

n(n?1)n-1 ③ 1、3、7、15……2 ④ 1+2+3+4+?n= 2 ① 1、4、9、16...... n2 ② 1、3、6、10……

⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)

11 ⑦ 12+22+32….+n2=n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n3=n2(n+1） 64

数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：

1、观察法

例1：观察下列等式：①1×112233=1- ②2×=2- ③3×=3- 223344

44④4×=4-……猜想第几个等式为（用含n的式子表示） 55

例2：探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么

32009的个位数字是 。

2、函数法 例3、将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：

1

则ann的代数式表示）

例4：有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 。

练习： 1,观察下列等式：1×3=12+2×1；2×4=22+2×2；3×5=32+2×3??请将

你猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来： 。

223344552、观察下列各式：×2=+2；×3=+3；×4=+4；×5=+5…… 11223344

设n为正整数，用关于n的等式表示这个规律为 。

3、

请你将猜想到的规律用含正

整数n(n≥1)的代数式表示出来为 。

223344554、已知：2+=22×；3+=32×；4+=42×；5+=52×…，若 338815152424

bb10+=102×符合前面式子的规律，则a+b= 。 aa

5、观察下列等式：9-1=8；16-4=12；25-9=16；36-16=20……设n（n≥1）表示正整数，用关于n的等式表示这个规律为 。

6、已知下列等式：①13=12；②13+23=32；③13+23+33=62；④13+23+33+43=102…由此规律可推 出第n等式： 。

7、下列一组按规律排列的数：1，2，4，8，16??第2010个数是 。

8、探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729??那么32008的个位数字是 。

9、观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041??由此可判断7100的个位数字是 。

10、小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神密排列的数：1，1，2，3，5，8……则这列数的第8个数是 。

1 1 1

11三角形如图所示则排在第10 1 1 22

111行从左边数第3个位置上的数 1 2 1 363

1111是 。 1 3 3 1 412124

11111 1 4 6 4 1 52030205

111111 1 5 10 10 5 1 630606030611、世界上著名的莱布尼茨

… … … …

2

12、我国宋代数学家杨辉，发现的“（a+b）展开式的系数，如右图所示，被后世称为“杨辉三角”则第5行左边第4个数为 。

916253613、瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，……中得到巴尔末公式，从而打5122132

开了光谱奥妙的大门，按此规律第七个数据是 。

14、已知a1=

a99。

15，已知

…+11111111111=1-，=-，=-……，则+++ 22?3233?4341?21?22?33?4112113114+=，a2=+=，a3=+=……按此规律，则1?2?3232?3?4383?4?541511111++…+ 1?33?55?7n(n?1)(2n?1)(2n?1)

二、图形规律探究

由结构类似，多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻，并且还可以由一个通用的代数式来表示。这种探索图形结构成元素的规律的试题，解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，再用函数法、观察法解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题。

拆图法

例5．如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了7根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用 根火柴棒，摆第n个图时，要用 根火柴棒。

（1） （2） （3）

例6．按如下规律摆放三角形：则第④堆三角形的个数为 ；第（n）堆三角形的个数为 。

△ △ △

△ △ △

△△△ △ △

△△△△△ △ △△△△△△△ ① ② ③

练习：1、如图7－①，图7－②，图7－③，图7－④，，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按

照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n个“广”字中的棋子个数是________

3

2．如图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，??，第n(n是正整数)个图案中由 个基础图形组成．

-

??

(3) (1) (2)

3．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．

第1个第2个第3

个

4．图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是 1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s，则s＝ ． （用n的代数式表示s）

??

n=1 n=2 n=3

5．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）．

6．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ． （1） （2） （3）

7．如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n幅图中共有 个．

? ? 第1幅 第2幅 第3幅 第n幅

图5

4

8．如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，，

按照这样的规律排列下去，则第9个图形由_______个圆组成．

9．14．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．

?

第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形

10、用边长为1cm的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是_______________cm（用含n 的代数式表示）。

···

第3次 ···

11．观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有个圆．

??

第1个 第2个 第3个 第4个

12、如图10，已知Rt△ABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，?，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，?，则CA1，C4A5?A5C5

图10

由于规律探索题，能够增强学生的创造意识，提高学生的创新能力，因而成为中考的热点，这就启发广大数学教师必须注意过程教学，用科学的方法引导学生亲身参与，经历探索规律的过程，在这样的过程中让学生认识数学之美，感受探索的愉悦，逐步培养学生的独立探究能力。

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