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初中数学竞赛题

上传者:刘鹤坤
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上传时间:2015-04-15
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初中数学竞赛题

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初中数学竞赛题

一.选择题:(每小题4分,共40分)

221.已知y?1且2x?y?1,则2的最小值为 ( ) x?16x?3y

A. 1927 B. 3 C. D.13 27

3232方程x?的整数解?x,y?的解的个数 ( ) 6x?5x?y?y?2

A .0 B. 1 C. 3 D. 3则这个圆共转了( )

A、6圈 B、6.5圈 C、7圈 D、8圈

4.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是

( ).

A.14 B.16 C.18 D.20

5. 如图是一个切去了一个角的正方体纸盒,切面与棱的交点A,B,C均

是棱的中点,现将纸盒剪开展成平面,则展开图不可能是( )

A. B. C. D. 6. 如图,矩形纸片ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,若要在该纸

片中剪下两个外切的圆⊙O1和⊙O2,要求⊙O1和⊙O2的圆心均在对

角线BD上,且⊙O1和⊙O2分别与BC、AD相切,则O1O2的长

为( )

A

.cm B.cm C.cm D.2cm

7. 设a、b、c均为正数,若c(b+a)<b(a+c)<a(c+b),则a、b、c三个数的大小关系是( )

A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<

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a

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8. 矩形纸片ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,现将纸片折叠压平,使A与C重合, 设折痕为EF,则重叠部分△AEF的面积等于( ).

A.

738758731675 16

9.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m的值是( )

A.164 B.158 C.168. D.154

10.抛物线y?ax与直线x?1,x?2,y?1,y?2围成的正方形有公共点,则实数a

的取值范围是 ( ) A、

2

1111

?a?1 B、?a?2 C、?a?1 D、?a?2 4224

二.填空题:(每小题4分,共40分) 11. 若

123321111??7,则???_________. xyzxyzxyz

2

2

12. 方程?的较大根为a,方程x的较?2006x?2007?0?2007x?2006?2008x?1?0

小根为b,则a?b? 。

k

13. 如图,A、B是双曲线 y= x (k>0) 上的点, A、B两点的横坐标分别是a、2a,线段AB的延长线交x轴于点C,若S△AOC=6.则k=

14. 如图,正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是 2和3,且点B,C,G在同一直线上,M是线段AE的中点,连结MF,则MF的长为 . 15. 如图,∠XOY=45°,一把直角三角尺△ABC的两 顶点A、B分别在OX,OY上移动,其中AB=10, 那么点O到顶点A的距离的最大值为 _________ .

16. 已知实数x,y满足方程组则x+y= _________ .

17. 已知一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数是,方差是

S2,那么另一组数据2x1– 1,

D

C

E

C

22

2x2 – 1,2x3– 1,…,2xn– 1的平均数是,方差是

F

18. 将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠,B点恰好落在AD边上,设

Aos?D

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CF此点为F,若AB:BC=4:5,则c的值是__________. BE

19. 仔细阅读以下内容解决问题:

偏微分方程,对于多个变量的求最值问题相当有用,以

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2001年全国联赛第二试第一题为例给同学们作一介绍,问题建立数学模型后实际上是求:

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y=5a+6ab+3b﹣30a﹣20b+46的最小值,先介绍求导公式,(x)′=nx,a′=0(a为常数),当ya′=10a+6b﹣30=0,yb′=6a+6b﹣20=0时,可取得最小值(ya′的意思是关于a求导,把b看作常数,(5a)′=10a,(6ab)′=6b,(3a﹣20b+46)′=0).解方程,得a=,b=,代入可得

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y=,即是最小值.同学们:以上内容很有挑战性,确保读懂后请解答下面问题:运用阅读材料中的知识求s=4x+2y+4xy﹣12x﹣8y+17的最小值.

20. 已知关于x的不等式组?222222nn﹣1?5?2x??1无解,则a的取值范围是 ____ 。

?x?a?0

三.解答题:(每小题10分,共70分)

21. .整数a使得关于x,y的方程组

求整数a的值.

对于每一个实数b总有实数解,

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22. 六个面分别标有1,1,x2+1,x,x+1,2x-1的小正方体的表面展开图如图所示,

(1)是否存在x,使得正方体相对的两面上数字相等,若存在,求出这样的x;若不存在,请说明理由;

(2)若六个面上的6个数之和为15,且x为正数,求出满足条件的x;

(3)掷这个正方体一次,记朝上一面的数为平面直角坐标系中某点的横坐标,朝下一面的数位该点的纵坐标,按照这样的规定,每抛一次该小正方体,就

得到平面内一个点的坐标,求在(2)的条件下抛一次正方体所

得的点恰在直线y=2x-1上的概率.

23.如图1,A,B,C三个容积相同的容器之间有阀门连接,从某一时刻开始,打开A容器阀门,以4升/分的速度向B容器内注水5分钟,然后关闭,接着打开B容器阀门,以10升/分的速度向C容器内注水5分钟,然后关闭.设A,B,C三个容器内的水量分别为ya,yb,yc(单位:升),时间为t(单位:分).开始时,

B容器内有水50升,yayc与t的函数图象如图

2所示,请在0≤t≤10的范围内解答下列问题:

(1)求t=3时,yb的值.

(2)求yb与t的函数关系式,并在图2中画出

其函数图象.

(3)求ya:yb:yc=2:3:4时t的值.

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24. 首先,我们看两个问题的解答:

问题1:已知x>0,求的最小值.问题2:已知t>2,求的最小值. 问题1解答:对于x>0,我们有:时,上述不等式取等号,所以的最小值≥.当,即.问题2解答:令x=t﹣2,则t=x+2

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,于是

.由问题1的解答知,的最小值,所以的最小值是.弄清上述问题及解答方法之后,解答下述问题:在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k>0,b>0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3.

(1)用b表示k;

(2)求△AOB面积的最小值.

25. 如图,AB是半圆O的直径,∠BAC=30°,BC为半圆的切线,且BC=,则圆心O到AC的距离是多少?

x x轴B,C的26.如图,已知点-2,0) -4,0),过点⊙直线切于点第二象限),点于轴的对称点是A,直线A与相交点C(x??1相B(11与A(A在A关P

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