文郡学校七年级竞赛班数学
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文郡学校七年级竞赛班数学
七年级奥数讲义
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第一讲数学符号
内容提要
数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义,即当我们把它规定为某种意义后,就不再表示其他意义。
数学符号一般可分为:
1、元素符号:通常用小写字母表示数,用大写字母表示点,用⊙和△表示圆和三角形等。
2、关系符号:如等号,不等号,相似∽,全等≌,平行∥,垂直⊥等。
3、运算符号:如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。
4、逻辑符号
5、约定符号和辅助符号:例如我们约定正整数a和b中,如果a除以b的商的整数部份记作Z(
数记作R(a),而它的余ba1010),那么Z()=3,R()=1;又如设?x?表示不大于x的最大整数,那么?5.2?=5,??5.2?b33
=-6,??=0,??3?=-3。3
正确使用符号的关健是明确它所表示的意义(即定义)
对题设中临时约定的符号,一定要扣紧定义,由简到繁,由浅入深,由具体到抽象,逐步加深理解。
在解题过程中为了简明表述,需要临时引用辅助符号时,必须先作出明确的定义,所用符号不要与常规符号混淆。?2???
典型例题
例1设?Z?表示不大于Z的最大整数,〈n〉为正整数n除以3的余数计算:
①〔4.07〕+〔-23〕-〈13〉+〈2004〉7
②〈〔14.7〕〉+〔?34?〕2
1
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★长沙市优质诚信服务示范校★优秀民办学校★长沙中小学优秀课外辅导机构东塘校区82477998凌霄路校区84123458东玺门校区84717668例2①求19871988的个位数
②说明19871989-19931991能被10整除的理由
例3定义一种符号★的运算规则为:a★b=2a+b,试计算:①5★3;②(1★7)★4例4设a※b=a(ab+7),求等式3※x=2※(-8)中的x
过关练习
1、设=a1b1
a=a1b2-a2b1
2b2
计算:①3?124=②?10=
2
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2、定义一种符号#的运算法则为a#b=
a?2b那么:2a?b3#2=
=②2#3=④(-3)#(1#0)=
5⊕4=5+6+7+8③(1#2)#33、a,b都是正整数,设a⊕b表示从a起b个連续正整数的和。例如2⊕3=2+3+4
己知x⊕5=2005,求x
4、设[x]表示不大于x数的最大整数且?,求?x?=x-[x]??+?-??
5、设[a]表示不大于数a的最大整数,例如[2]=1,[-2]=-2,那么[3x+1]=2x-
(全国初中联赛题)1的所有的根的和是2
3
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★长沙市优质诚信服务示范校★优秀民办学校★长沙中小学优秀课外辅导机构东塘校区82477998凌霄路校区84123458东玺门校区84717668第二讲抽屉原则内容提要
1、4个苹果放进3个抽屉,有一种必然的结果:至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个(即等于或多于2个);如果7个苹果放进3个抽屉,那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个(即的等于或多于3个),这就是抽屉原则的例子。
7?6??n?表示不小于m的最小整数,例如?=3,??2。那么抽屉原则可定义为:m个元素分成n个n33
m?集合(m、n为正整数m>n),则至少有一个集合里元素不少于?个。n
m?m?3、根据?的定义,己知m、n可求?;nn
m?m?x?己知?,则可求m的范围,例如己知?=3,那么2<m≤3;己知?=2,则1<x≤2,即3<x≤6,nnnn332、如果用m
x有最小整数值4。
典型例题
例1某校有学生2000人,问至少有几个学生生日是同一天?
例2从1到10这十个自然数中,任意取出6个数,其中至少有两个是倍数关系,试说明这是为什么。
例3袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6个,请你从袋中取出一些球,要求至少有3个颜色相同,那么至少应取出几个才有保证。
例4等边三角形边长为2,在这三角形内部放入5个点,至少有2个点它们的距离小于1,试说明理由。
4
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过关练习
1、任意取11个正整数,至少有两个它们的差能被10整除,这是为什么?
2、右图有3行9列的方格,若用红、蓝两种颜色涂上,则至少有2列的涂色方式是一样
的,试说明这是为什么。
3、任意取3个正整数,其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。
4、90粒糖果分给13个小孩,每人至少分1粒,不管怎样分,总有两人分得同样多,这是为什么?
5、11个互不相同的正整数,它们都小于20,那么一定有两个是互质数。(最大公约数是1的两个正整数叫互质数)
6、任意6个人中,或者有3个人他们之间都互相认识,或者有3个人他们之间都互不相识,两者必居其一,这是为什么?
5
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