二维区域本征值问题的研究 毕业论文

二维区域上本征值问题的研究

徐荣超 ( 安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011)

指导教师：章礼华

摘要：本文是对二维区域上的本征值问题进行研究，二维本征值问题涉及二维振动问题、输运问题以及稳定场等问题。首先写出相关的定解问题，然后导出二维本征值问题，如矩形、圆形、三角形、扇环形等区域，并运用数学物理方法教程中所涉及的方法对其进行求解，例如分离变量法，拉普拉斯变换法，得到本征值和本征函数。最后对各种二维区域的本征值问题进行总结，并进行分析比较。

关键词：二维区域，本征值问题，分离变量法 1 引言

在运用数学物理方程来研究物理问题时，我们都必须要解数学物理方程,而求解数学物理方程的过程中必然会产生本征值问题，需要我们对本征值问题进行求解。梁昆淼的《数学物理方法》、姚端正的《数学物理方法》以及四川大学出版的《高等数学第四册》均详细的向我们讲解了利用分离变量法、积分变换等方法来对各种有界问题进行求解，其中包括矩形区域和圆形区域

[4]

[1] [2] [3]

；章礼华的《等腰三角

形薄膜振动的解析解》在矩形膜的特征解的基础上，求解了占据等腰三角形区域的均匀膜的横振动问题，并讨论了等腰三角形的均匀膜的横振动的某些性质；彭芳麟的《数学物理方程的MATLAB求解与可视化》以及《计算物理基础》向我们介绍了利用MATLAB指令来求解二维区域上本征值问题，并可将结果用图形甚至动画表现出来要的作用和意义。

2 本征值问题的基本概念

考虑长为l两端固定的弦的自由振动

[5] [6]

。在解决二维振动方程问题、输运问题或者稳定场等问题时免不了要面临

对二维本征值问题的求解，因此研究二维区域上本征值问题对于解决各种二维数学物理方程有着非常重

utt a2uxx, 0 x l,t 0;

t 0; ux 0 0,ux l 0, (1)

0 x l; ut 0 (x),utt 0 (x),

由经典力学的知识我们清楚地知道，两端固定的弦的自由振动会产生驻波，这就指导我们应该考虑利用驻波的一些性质来解决这样的问题。

在经典力学中，驻波的表达式为

u(x,t) 2Acos

2 x

cos2 t (2)

对于定解问题(1)式可设其分离变数的试探解为

(t) (3) u(x,t) X(x)T

(t)分别只是变量x和t的函数，变量x和t可以分开互不影响。把试探解（3）也就是说X(x)和T

式带入定解问题方程，分离变量得到

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T X a2TX ，

即

T X

（4） Xa2T

由（4）式可以看出，等式左边只是t的函数，右边只是x的函数，它们是两个相互独立的变量，因此只有当两边都是常数时，上述等式才可以成立。我们令这个常数为－ ，即（4）式可以写成

T X

（5） 2 XaT

由（5）式改写得到两个常微分方程

2

X X 0 ， T aT 0， （6）

(t)代入边界条件，即可以得到 其中 被称为分离常数。现将分离变数的试探解u(x,t) X(x)T

T(t)X(0) 0， T(t)X(l) 0． （7）

(t)应不恒为零，所以我们可以得到齐次边界条件因为我们考虑的是非零解u(x,t)，所即T

X(0) X(l) 0。这样一来，求偏微分方程定解问题的解，即是求常微分方程X X 0满足齐次边界条件X(0) X(l) 0的非零解。只有当 取某些特定数值时，偏微分方程定解问题才有非零解，

由偏微分方程和边界条件构成的问题，即

X X 0

（8）

X(0) X(l) 0

称为本征值问题， 称为本征值问题的本征值，相应的非零解为本征值问题的本征函数，求本征值和

本征函数的问题即为本征值问题。 3 二维区域上本征值问题的研究 3.1矩形区域上本征值问题

考虑边界条件为四边固定，求解区域为0 x c，0 y b的矩形膜的横向振动问题，如图1所示。

与之相对应的定解问题为

utt a2(uxx uyy), (0 x c,0 y b,0 t)

u(x 0,y,t) 0, u(x a,y,t) 0

u(x,y 0,t) 0, u(x,y b,t) 0（9）

y

u(x,y,t 0) Ax(x c)sin, ut(x,y,t 0) 0

b

将定解问题分离变量得三个方程为

X (x) ( )X(x) 0 (10)

Y (y) Y(y) 0 (11)

T (t) a2T 0 (12)

方程（10）和其对应的边界条件构成一个本征值问题

X (x) ( )X(x) 0

X(x 0) 0 X(x c) 0

(13)

方程（11）和其对应的边界条件构成又一个本征值问题

Y (y) Y(y) 0

(14)

Y(y 0) 0 Y(y b) 0

分别求解得到本征值问题（13）和（14）的本征值和本征函数分别为

Ym(y) sin

m y

,　b

m 2

m ()　,　　　　　m 1，,2,3

b

(15)

Xm(x) sin

mn

n x

, c

(16)

n 2

m () , n 1,2,3

c

n xm y

sincb

即得到矩形膜的振动的本征模为

Xm(x)Ym(y) sin

mn (

m 2n

) ()2bc

3.2 圆形区域上本征值问题

考虑一个半径为a,上下两面绝热的薄圆盘上的稳定温度分布问题，如图2所示。由于边界是圆周，因此采用极坐标求解更为简便，又因为圆盘的上下两面绝热，所以没有热量流动，又因为圆盘很薄，因此可以看成是二维圆形区域的稳定场问题。在极坐标下该问题可以表示为

u 0,r<a u

r a

f( )

（17）

其中f( )为已知的函数，表示圆盘边缘的温度函数。将极坐标中的 u的表达式带入定解问题（17）式中可以得到

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图2.圆形的薄圆上稳定的温度分布

1 u 1 2u

0 （18） r 22

r r r r

以分离变数形式的试探解

u(r, ) R(r) ( ) （19）

带入（18）式，运用分离变量法得到两个方程

0

（20） 1d dR

r R 0rdr dr r2

由于定解问题的边界条件是并不是齐次的，因此我们无法运用分离变量法对其进行求解，但是我们可以经过分类讨论来求解本征值以及与其相对应的本征函数。由于在一般的物理问题中，函数u(r, )为单值函数，因此我们可以得到周期性的边界条件

u(r, 2 ) u(r, )

由（19）式即可得

R(r) ( 2 ) R(r) ( )

也就是需要 满足条件

( 2 ) ( )

这就给关于 ( )的方程提出了周期性的边界条件，因此我们得到了一组本征值问题

0

（21）

( 2 ) ( )

若 0则本征值问题（21）的解为

2

( ) B0 A0

,B0为常数，由周期性边界条件可知 其中A0

B0( 2 ) A0 B0 A0

所以可得B0 0，即

( ) A0

0，记 2 2 若 ( 0)，则本征值问题（21）的通解为

2

( ) Ae Be

由于实指数函数不是周期函数，显然它不满足周期条件，因此此种情况并不存在。

2

0，则本征值问题的通解为 若

( ) A0cosn B0sinn

将边界条件带入即可得到n 1, 2, ，但是由于当n取正整数和负整数时本征值方程是线

,2, 性相关的，故只要取n 1

综上所述，本征值问题（21）的本征值和相应的本征函数为

n, n 0,1,2, （22） ( ) A0cosn B0sinn （23）

3.3等腰直角三角形区域上本征值问题

2

图3.等腰直角三角形均匀膜的横向振动

考虑如图3所示的直角边固定斜边固定（或自由）的等腰直角三角形均匀膜作横振动的问题时，可以写出与之对应的定解问题

utt c2(uxx uyy)

, (0 x a ) ; u(x 0) 0 , (0 y a ) u(y 0) 0

（24）

, (0 y a) u(x y 0) 0

u(t 0) g(x,y) ;ut(t 0) h(x,y)

以分离变数的试探解u U(x,y)f(t)，分离变量可得U(x,y)所满足的本征值问题为

Uxx Uyy U 0

, (0 x a) ;U(x 0) 0 , (0 y a) （25） U(y 0) 0

U(x y 0) 0 , (0 y a)

式子中

为常数，由于斜边上边界条件显然不能直接采取分离变量法来进一步求解，但是根据已