竞赛训练题(4)之一元积分学

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上传时间：2015-05-09
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竞赛训练题(4)之一元积分学

高等数学竞赛训练题四（一元函数积分学1）

一、求不定积分 t21. ?22?. (t?1)

x?sinxcosx?(cosx?xsinx)2?lnx?1?ln2x?二、变限的定积分的应用

4. 当x?0时，F(x)??(x2?t2)f?(t)dt的导数与x2为等价无穷小，求f?(0). 0x

5. lim?x2

x?001?(tx)2(e?1)dt?. 2x

三、定积分的计算

6. 设连续函数f(x)满足

f(x)?x?x2?f(x)dx?x3?f(x)dx 0012

求f(x).

7. 设

?1, x ?0,??1?x f(x)?? 1?, x?0 x??1?e

求 ?2

0f(x?1)dx.

t28. 设 f(x)??e?xdx,求?t2f(t)dt. 001

9. 求 ?2

0xex(1?tan)2dx. 2

10. 求?(ecosx?e?cosx)dx.

32?3

三、定积分在几何与物理上的应用

11. 在y轴上过坐标为t(0?t?1)的点A作平行于x轴的直线AB，它与y?x,x?12以及y轴所围阴影部分D1（左侧）与D2（右侧）的面积之比之和为S，求S的最大值与最小值。

12. 现过点(1,5)作曲线?:y?x的切线L，（1）求L的方程；（2）?与L所围成平面图形D的面积；（3）求图形D的x?0的部分绕x轴旋转一周所得立体的体积。

参考答案： 3

1. 原式??

??111t1td??(?dt) 222??2t?12t?1t?11?arctat?nC 2(t2?1)2t

2. 因为(xtanx)??xsec2x?tanx，所以 xsec2x?tanx1?1原式???(xtanx)??C 22?(1?xtanx)(xtanx?1)xtanx

3. 令lnx?t，有x?et

11tet

t1 原式??(?2)edt????ed tttt

etetetetx?C ???(??dt)??C?ttttlnx

4. 因为

F(x)?x

所以

F?(x)?2x?f?(t)dt?x2f?(x)?x2f?(x)?2x(f(x)?f(0)) 0x2?x0f?(t)dt??t2f?(t)dt 0x

因为F?(x)与x2为等价无穷小，所以2x(f(x)?f(0))与x为等价无穷小，即

2(f(x?)f(0))?f2?(?0) 1 lix?0x

所以 f?(0)?

x21. 225. 令tx?u将定积分换元，再应用洛必达法则，则原式?limx?0?0(e?u?1)dux6

42x(e?u?1) ?lim5x?06x2e?x?1?x41 ?lim?lim??44x?0x?03x3x3

6. 设 A?

A??10f(x)dx, B??f(x)dx，则f(x)?x?Ax2?Bx3，所以 02111?A?B ?0234

23 B??(x?Ax2?Bx3)dx?2?A?4B 08

33 由上述两式解出 A?, B??1, 于是 f(x)?x?x2?x3. 88

7. 令x?1?t，则

210111? ?f(x?1)dx??f(t)dt???10?x 0?1?11?et1(x?Ax2?Bx3)dx?

101?et?et

t ???ln(1?x)?1?ln(1?e)?ln2 ?11?et0?10

1?e?ln(e?1 ) ?1?le

8. 因为f?(t)?e?t,f(1)?0,分部积分得

2?1

0t2f(t)dt?11?1131?33?f(t)dt?tf(t)?tf(t)dt?? ??00033??

2113?t2t?x11?x11 ???tedt???xedx??xde?x 306060

?11? 3e6

29. 原式??2

0?xxesecdx?2?2extan 022x

x ?2?2edtanx?2?2extan 002x??

x ?2etanx?2?etanxd?2?2extandx 02x2

0x??

?2e2

10. 令cosx?

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t，有x?arccost,dx??1

利用奇函数积分性质，有

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原式??1t?t?0. 2

11. 应用定积分，面积S为

14122S?t?x)dx?x?t)dx?t?

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033

由S??1?0解得驻点t?,则 1

2?112?maxS?ma,? ??3433???11?2, S ? mi??i?n?34?31, ,4. 3211. （1）设切点为(x0,x0),y?(x0)?3x0,所以L的方程为

y?x0?3x0(x?x0)

令x?1,y?5,代入上面的方程得 2x0?3x0?5?0，有唯一实根x0??1，故切点为(?1,?1). 切线L的方程为y?3x?2. 3232

?y?x3

（2）由 ?解得x??1,2,所求D的面积为 ?y?3x?2

3 S???1(3x?2?x)dx?227 4

（3）所求体积为

V??264232??(3x?2)?(x)dx??. ?0??72

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