初一数学竞赛讲座⑾染色与赋值

初一数学竞赛讲座

第11讲 染色和赋值

染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而言，染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡是能用染色方法来解的题，一般地都可以用赋值方法来解，只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些，我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值，然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。

一、染色法

将问题中的对象适当进行染色，有利于我们观察、分析对象之间的关系。像国际象棋的棋盘那样，我们可以把被研究的对象染上不同的颜色，许多隐藏的关系会变得明朗，再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决，这种解题方法称为染色法。常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。 例1 用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片（如下图所示），能否覆盖一个8×8的棋盘？

解：如下图，将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状。如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘，那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个，但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格，而1和3都是奇数，因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格，从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数，这与32是偶数矛盾，因此，用它们不能覆盖整个棋盘。

例2 如左下图，把正方体分割成27个相等的小正方体，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走遍所有的正方体吗？

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解：甲虫不能走遍所有的正方体。我们如右上图将正方体分割成27个小正方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色。显然，在27个小正方体中，14个是黑的，13个是白的。甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色。故它走27步，应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体。因此在27步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次。由此可见，如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小正方体。

例3 8×8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2×2的正方形和9个4×1的长方形？如果可以，请给出一种剪法；如果不行，请说明理由。

解：如下图，对8×8的棋盘染色，则每一个4×1的长方形能盖住2白2黑小方格，每一个2×2的正方形能盖住1白3黑或3白1黑小方格。推知7个正方形盖住的黑格总数是一个奇数，但图中的黑格数为32，是一个偶数，故这种剪法是不存在的。

例4 在平面上有一个27×27的方格棋盘，在棋盘的正中间摆好81枚棋子，它们被摆成一个9×9的正方形。按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这枚棋子取出来。问：是否存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？ 解：如下图，将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。按照游戏规则，每走一步，有两部分中的棋子数各减少了一个，而第三部分的棋子数增加了一个。这表明每走一步，每个部分的棋子数的奇偶性都要改变。

因为一开始时，81个棋子摆成一个9×9的正方形，显然三个部分的棋子数是相同的，故每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。

如果在走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，则两部分上的棋子数为偶数，而另一部分的棋子数为奇数，这种结局是不可能的，即不存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。

例5 图1是由数字0，1交替构成的，图2是由图1中任

选

减1，如此反复

多次形成的。问：图2中的A格上的数字是多少？

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解：如左下图所示，将8×8方格黑白交替地染色。

此题允许右上图所示的6个操作，这6个操作无论实行在哪个位置上，白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数。所以图1中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和，与图2中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等，都等于32，由（31＋A）-32=32，得出A=33。

例6 有一批商品，每件都是长方体形状，尺寸是1×2×4。现在有一批现成的木箱，内空尺寸是6×6×6。问：能不能用这些商品将木箱填满？

解：我们用染色法来解决这个问题。先将6×6×6的木箱分成216个小正方体，这216个小正方体，可以组成27个棱长为2的正方体。我们将这些棱长为2的正方体按黑白相间涂上颜色（如下图）。

容易计算出，有14个黑色的，有13个白色的。现在将商品放入木箱内，不管怎么放，每件商品要占据8个棱长为1的小正方体的空间，而且其中黑、白色的必须各占据4个。现在白色的小正方体共有8×13=104（个），再配上104个黑色的小正方体，一共可以放26件商品，这时木箱余下的是8个黑色小正方体所占据的空间。这8个黑色的小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等，但是容不下这件商品。因此不能用这些商品刚好填满。

例7 6个人参加一个集会，每两个人或者互相认识或者互相不认识。证明：存在两个“三人组”，在每一个“三人组”中的三个人，或者互相认识，或者互相不认识（这两个“三人组”可以有公共成员）。

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证明：将每个人用一个点表示，如果两人认识就在相应的两个点之间连一条红色线段，否则就连一条蓝色线段。本题即是要证明在所得的图中存在两个同色的三角形。

设这六个点为A，B，C，D，E，F。我们先证明存在一个同色的三角形： 考虑由A点引出的五条线段AB，AC，AD，AE，AF，其中必然有三条被染成了相同的颜色，不妨设AB，AC，AD同为红色。再考虑△BCD的三边：若其中有一条是红色，则存在一个红色三角形；若这三条都不是红色，则存在一个蓝色三角形。

下面再来证明有两个同色三角形：不妨设△ABC的三条边都是红色的。若△DEF也是三边同为红色的，则显然就有两个同色三角形；若△DEF三边中有一条边为蓝色，设其为DE，再考虑DA，DB，DC三条线段：若其中有两条为红色，则显然有一个红色三角形；若其中有两条是蓝色的，则设其为DA，DB。此时在EA，EB中若有一边为蓝色，则存在一个蓝色三角形；而若两边都是红色，则又存在一个红色三角形。

故不论如何涂色，总可以找到两个同色的三角形。

二、赋值法

将问题中的某些对象用适当的数表示之后，再进行运算、推理、解题的方法叫做赋值法。许多组合问题和非传统的数论问题常用此法求解。常见的赋值方式有：对点赋值、对线段赋值、对区域赋值及对其他对象赋值。

例8 一群旅游者，从A村走到B村，路线如下图所示。怎样走才能在最短时间内到达B村？图中的数字表示走这一段路程需要的时间（单位：分）。

解：我们先把从A村到各村的最短时间标注在各村的旁边，从左到右，一一标注，如下图所示。

由此不难看出，按图中的粗黑线走就能在最短时间（60分钟）内从A村走到B村。

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例9 把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。

解：假设题中所设想的染色方案能够实现，那么每条直线上代表各点的数字之和便应都是奇数。一共有五条直线，把这五条直线上代表各点的数字之和的这五个奇数再加起来，得到的总和数仍应是一个奇数。但是，由观察可见，图中每个点都恰好同时位于两条直线上，在求上述总和数时，代表各点的数字都恰被加过两次，所以这个总和应是一个偶数。这就导致矛盾，说明假设不成立，染色方案不能实现。

例10 平面上n（n≥2）个点A1，A2，?，An顺次排在同一条直线上，每点涂上黑白两色中的某一种颜色。已知A1和An涂上的颜色不同。证明：相邻两点间连接的线段中，其两端点不同色的线段的条数必为奇数。

证明：赋予黑点以整数值1，白点以整数值2，点Ai以整数

值为ai，当Ai为黑点时，ai=1，当Ai为白点时，ai=2。再赋予线段AiAi+1以整数值ai+ai+1，则两端同色的线段具有的整数值为2或4，两端异色的线段具有的整数值为3。

所有线段对应的整数值的总和为

（a1＋a2）＋（a2＋a3）＋（a3＋a4）＋?＋（an-1＋an）

＝a1＋an＋2（a2＋a3＋?＋an-1）

＝2＋1＋2（a2＋a3＋?＋an-1）＝奇数。

设具有整数值2，3，4的线段的条数依次为l，m，n，则

2l＋m＋4n=奇数。

由上式推知，m必为奇数，证明完毕。

例11 下面的表1是一个电子显示盘，每一次操作可以使某一行四个字母同时改变，或者使某一列四个字母同时改变。改变的规则是按照英文字母的顺序，每个英文字母变成它的下一个字母（即A变成B，B变成C??Z变成A）。问：能否经过若干次操作，使表1变为表2？如果能，请写出变化过程，如果不能，请说明理由。

S O B R K B D S

T Z F P H E X G

H O C N R T B S

A D V X C F Y A

表1 表2

解：不能。将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A用1，B用2??Z用26代替）。这样表1和表2就分别变成了表3和表4。

每一次操作中字母的置换相当于下面的置换：

1→2，2→3，?，25→26，26→1。

19 15 2 18

20 26 6 16

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